Математикадан жасөспірімдер арасындағы 16-шы Балкан олимпиадасы 2012 жыл, Верия, Греция

$k_1$ және $k_2$ шеңберлері $A$ және $B$ нүктелерінде қиылыссын, ал $t$ — $k_1$ және $k_2$ шеңберлеріне жүргізілген сәйкесінше $M$ және $N$ нүктелерінде жанайтын ортақ жанамалар болсын. Егер $t \perp AM$ және $MN=2AM$ болса, $NMB$ бұрышы неге тең?

Комментарий/решение

Продлеваем $AB$ до пересечения с $MN$, пусть $C \in AB \cap MN$. Мы знаем, что $AB$ - радикальная ось для данных окружностей, то есть $CM^2=CN^2, \Rightarrow CM=CN$. По условию $2AM=MN, \Rightarrow AM=MC$, то есть $\angle NMB=45$, так как $MB$ - высота и биссектриса для $\triangle AMC $

допустим что NMB не 45 тогда давайте выберем точку Х как центр MN тогда допустим что прямая AO пересекает первую окружность в точке С тогда давайте продолжим отрезок

MC до такой точки L что угол NLM прямой тогда давайте скажем что AX пересекает первую окружность в точке S тогда по счету можно найти что AX параллельна LN тогда выберем на прямой AX такую точку G что GLNX параллелограм тогда заметим что LG=

=NX также заметим что если LG пересекает AM в точке I то четырехугольник XMIL

прямоугольник тогда LI=XM но LI>XM

Легенда, решать геому от противного.

имею право