Математикадан жасөспірімдер арасындағы 13-ші Балкан олимпиадасы 2009 жыл, Сараево

Есеп №1. $ AB+CD=BC+DE$ болатын дөңес $ ABCDE$ бесбұрышы берілген. Центрі $AE$ қабырғасында жататын $ k$ шеңбері $ AB$, $ BC$, $ CD$ және $ DE$ қабырғаларын сәйкесінше $ P$, $ Q$, $ R$ және $ S$ нүктелерінде жанайды (бесбұрыш төбелерінен өзге). $ PS$ және $ AE$ түзулері параллель екенін дәлелдеңіздер.
комментарий/решение(1)

---

Есеп №2. Теріс емес бүтін сандарда теңдеуді шешіңіздер: $ 2^{a} \cdot 3^{b} + 9 = c^{2}.$
комментарий/решение(13)

---

Есеп №3. $ x$, $ y$, $ z$ сандары $ 0 < x,y,z < 1$ және $ xyz = (1 - x)(1 - y)(1 - z)$ болатындай нақты сандар болсын. $ (1 - x)y$, $(1 - y)z$, $(1 - z)x$ сандарының кем дегенде біреуі $ \dfrac {1}{4}$-ден кем емес екенін дәлелдеңіздер.
комментарий/решение(1)

---

Есеп №4. Жазықтықтағы 2009 әр түрлі нүктенің әрбірі келесідей шарт орындалатындай көк немесе қызыл түске боялды: центрі көк болатын бірлік радиусты әрбір шеңберде дәл екі қызыл нүкте жатады. Ең көп дегенде қанша көк нүкте бола алады?
комментарий/решение

---