Математикадан жасөспірімдер арасындағы 13-ші Балкан олимпиадасы 2009 жыл, Сараево

Есеп №1.

$AB+CD=BC+DE$ болатын дөңес

$ABCDE$ бесбұрышы берілген. Центрі

$AE$ қабырғасында жататын

$k$ шеңбері

$AB$ ,

$BC$ ,

$CD$ және

$DE$ қабырғаларын сәйкесінше

$P$ ,

$Q$ ,

$R$ және

$S$ нүктелерінде жанайды (бесбұрыш төбелерінен өзге).

$PS$ және

$AE$ түзулері параллель екенін дәлелдеңіздер.
комментарий/решение(3)

Есеп №2. Теріс емес бүтін сандарда теңдеуді шешіңіздер:

$2^{a} \cdot 3^{b} + 9 = c^{2}.$
комментарий/решение(13)

Есеп №3.

$x$ ,

$y$ ,

$z$ сандары

$0 < x,y,z < 1$ және

$xyz = (1 - x)(1 - y)(1 - z)$ болатындай нақты сандар болсын.

$(1 - x)y$ ,

$(1 - y)z$ ,

$(1 - z)x$ сандарының кем дегенде біреуі

$\dfrac {1}{4}$ -ден кем емес екенін дәлелдеңіздер.
комментарий/решение(1)

Есеп №4. Жазықтықтағы 2009 әр түрлі нүктенің әрбірі келесідей шарт орындалатындай көк немесе қызыл түске боялды: центрі көк болатын бірлік радиусты әрбір шеңберде дәл екі қызыл нүкте жатады. Ең көп дегенде қанша көк нүкте бола алады?
комментарий/решение

результаты