Loading [MathJax]/jax/output/SVG/jax.js

13-я Балканская математическая олимпиада среди юниоров
Сараево, Босния и Герцеговина, 2009 год


Решите уравнение 2a3b+9=c2 в целых неотрицательных числах.
посмотреть в олимпиаде

Комментарий/решение:

пред. Правка 4   0
5 года 2 месяца назад #

Ответ: a=4,b=0,c=5

Заметим что , 2a3b+9=c2 является нечетным 2a3b+9=c2=(2k+1)2=4k2+4k+1

k(k+1)=2a43b+2=2(2a83b+1)

Т.к k и k+1 взаимно просты,то одного их них делит 2

проверив каждую,находим что 2 делит k

k=1,2

при k=1,c2=9,чего не может быть

при k=2,c2=252a3b=16a=4,b=0,c=5

  1
5 года 2 месяца назад #

Извините, c может быть нечетным при a=0, значит решение не верно. По крайней мере есть ответ a=0, b=3, c=6

  0
5 года 2 месяца назад #

Извиняюсь тот был первый случай,второй случай-если уравнение четное:

Тогда 3b+9=c2 9(3b9+1)=c2

3b9+1=n2

Единственный возможный n2=4 b=3

33+9=36c=6

a=0,b=3,c=6

  0
3 года 9 месяца назад #

Упущено еще 1 решение: a=3, b=2, c=9

пред. Правка 2   2
3 года 9 месяца назад #

Ещё есть решение: a=4,b=3,c=21. Не люблю такие задачи здесь нужно рассмотреть примерно 10 случаев.

P.S. Я решил эту задачу здесь нужно рассмотреть 9 случая и есть 7 решения.

  1
3 года 9 месяца назад #

ахахахха, same

пред. Правка 2   0
3 года 9 месяца назад #

можете скинуть примерный план решения? Я вышел к уравнению 2a1=3b, вроде бы элементарно, но не могу решить

  0
3 года 9 месяца назад #

Ладно сейчас скину полное решение. А уравнения которое вы указали решается так: с помощью мод 3 находите что а чётное (но до этого нужно рассмотреть частные случае), а потом вы наверное уже понимаете

пред. Правка 2   1
3 года 9 месяца назад #

"а потом вы наверное уже понимаете", тут бы подошли слова Стэнли когда он впервые увидел портал (я хочу сказать, что не понял)

P.S. а уже понял

  0
3 года 9 месяца назад #

Жаль я не понял вашу отсылку. Я не смотрел Гравити Фолз.

  2
3 года 9 месяца назад #

Ответ:(a,b,c)=(0,3,6),(4,0,5),(3,2,9),(4,3,21),(3,3,15),(5,4,51)

При решении задачи я буду использовать новые переменные и все они будут неотрицательными целыми числами, и при каждом случае несмотря на то что я их написал одинаково они не имеют отношения к друг-другу. Сперва избавимся от частных случаев:

a=0,3b=(c3)(c+3). Обозначим c3=3x,c+3=3y, где x+y=b. 6=3y3x, y=2,x=1. Далее выходит что b=3,c=6.

b=0, 2a=(c3)(c+3). Обозначим c3=2x,c+3=2y, где x+y=a. 6=2y2x. Выходит что y=3,x=1, a=4,c=5.

Теперь будем считать что a,b натуральны. Так как 2a3b=(c3)(c+3), обозначим c3=2x3y,c+3=2z3t. Очевидно что x,y,z,t натуральны. Далее 6=2z3t2x3y, из чего выходит что min(x,z)=min(y,t)=1. Теперь рассмотрим 4 случая:

I)z=t=1, решений нет.

II)x=y=1, z=2,t=1. Далее a=3,b=2,c=9

III)t=x=1, 1=2z13y1, случай y=1 был рассмотрен в II). Значит y2, значит при mod3: 2z11, z1 чётное. 3y1=(2(z1)/21)(2(z1)/2+1), обозначим 2(z1)/21=3p,2(z1)/2+1=3q. 2=3q3p. q=1,p=0, y=2,z=3, a=4,b=3,c=9.

IV)z=y=1. 1=3t12x1. При x=1 решений нет. При x=2 выходит что a=3,b=3,c=15. При xgeq3 если рассмотреть mod4, выходит что t1 чётное. Далее 2x1=(3(t1)/21)(3(t1)/2+1), обозначим 3(t1)/21=2p,3(t1)/2+1=2q. Далее 2=2q2p, из чего выходит что q=2,p=1, потом x=4,t=3, и a=5,b=4,c=51.

  0
2 года 11 месяца назад #

эту задачу создал демон, так ещё и поставил второй..

  0
2 года 11 месяца назад #

вполне нормально но сколько случаев..