13-я Балканская математическая олимпиада среди юниоров
Сараево, Босния и Герцеговина, 2009 год
Задача №1. Дан выпуклый пятиугольник ABCDE, в котором AB+CD=BC+DE. Окружность k, центр которой лежит на стороне AE, касается сторон AB, BC, CD и DE в точках P, Q, R и S (отличные от вершин пятиугольника) соответственно. Докажите, что прямые PS и AE параллельны.
комментарий/решение(3)
комментарий/решение(3)
Задача №3. Пусть x, y, z — действительные числа такие, что 0<x,y,z<1 и xyz=(1−x)(1−y)(1−z). Докажите, что хотя бы одно из чисел (1−x)y, (1−y)z, (1−z)x не меньше 14.
комментарий/решение(1)
комментарий/решение(1)
Задача №4. Каждый из 2009 различных точек на плоскости покрашена в синий или красный цвет так, что на каждой единичной окружности с синим центром лежит ровно две красные точки. Найдите максимально возможное количество синих точек.
комментарий/решение
комментарий/решение