13-я Балканская математическая олимпиада среди юниоровСараево, Босния и Герцеговина, 2009 год

Пусть $ x$, $ y$, $ z$ — действительные числа такие, что $ 0 < x,y,z < 1$ и $ xyz = (1 - x)(1 - y)(1 - z)$. Докажите, что хотя бы одно из чисел $ (1 - x)y$, $(1 - y)z$, $(1 - z)x$ не меньше $ \frac {1}{4}$.

Комментарий/решение

Буду идти от противного, пусть все эти выражения меньше $0,25$. Умножим все эти неравенства: $0,25^3>xyz(1-x)(1-y)(1-z)=(xyz)^2$, тогда $1/8>xyz$. Но $xyz=1-x-y-z+xy+yz+zx-xyz$ из чего выходит что: $2xyz=1-(1-x)y-(1-y)z-(1-z)x>1-3*0,25=0,25$. Это означает что $1/8>xyz>1/8$. Противоречие.

Отличное решение

Спасибо☺️

Отлично, я не догадался раскрыть скобки

Пусть это не так и $(1-x)y$, $(1-y)z$, $(1-z)x < \frac{1}{4}$. Перемножим их и получим $(1-x)(1-y)(1-z)xyz = (xyz)^2 < \frac{1}{64}$, откуда $xyz < \frac{1}{8}$.

Не теряя общности, пусть $x \geq y \geq z$. Тогда $z \leq \sqrt[3]{xyz} < \sqrt[3]{1/8} = \frac{1}{2}$.

Тогда $x \geq \frac{1}{2}$, иначе $x, y, z < \frac{1}{2}$, и тогда $(1-x)(1-y)(1-z) > \frac{1}{2} \times \frac{1}{2} \times \frac{1}{2} = \frac{1}{8} > xyz$, что противоречит условию.

Но тогда $(1-z)x > \frac{1}{2} \times \frac{1}{2} = \frac{1}{4}$, что противоречит нашему предположению.

Следовательно, изначальное утверждение неверно, и хотя бы одно из чисел $(1-x)y$, $(1-y)z$, $(1-z)x$ не меньше $\frac{1}{4}$.

$1)x=\frac{1}{2}\Longrightarrow y+z=1; y\ge \frac{1}{2}\Longrightarrow (1-x)y\ge \frac{1}{4};ㅤy<\frac{1}{2}\Longrightarrow (1-y)z>\frac{1}{4}$

$2)x>\frac{1}{2}\Longrightarrow (1-z)<\frac{1}{2}\Longrightarrow z>\frac{1}{2}\Longrightarrow (1-y)<\frac{1}{2}\Longrightarrow y>\frac{1}{2}\Longrightarrow xyz>\frac{1}{8}$ но $(xyz)^2=(1-x)y(1-y)z(1-z)x<\frac{1}{64}$ противоречие.

Аналогично если $x<\frac{1}{2}ㅤ$