13-я Балканская математическая олимпиада среди юниоров
Сараево, Босния и Герцеговина, 2009 год
Пусть x, y, z — действительные числа такие, что 0<x,y,z<1 и xyz=(1−x)(1−y)(1−z). Докажите, что хотя бы одно из чисел (1−x)y, (1−y)z, (1−z)x не меньше 14.
посмотреть в олимпиаде
Комментарий/решение:
Буду идти от противного, пусть все эти выражения меньше 0,25. Умножим все эти неравенства: 0,253>xyz(1−x)(1−y)(1−z)=(xyz)2, тогда 1/8>xyz. Но xyz=1−x−y−z+xy+yz+zx−xyz из чего выходит что: 2xyz=1−(1−x)y−(1−y)z−(1−z)x>1−3∗0,25=0,25. Это означает что 1/8>xyz>1/8. Противоречие.
Возможно, что при неправильном наборе формул, они будут
доредактированы модератором. При этом содержание не будет меняться.