Loading [MathJax]/jax/output/SVG/jax.js

13-я Балканская математическая олимпиада среди юниоров
Сараево, Босния и Герцеговина, 2009 год


Пусть x, y, z — действительные числа такие, что 0<x,y,z<1 и xyz=(1x)(1y)(1z). Докажите, что хотя бы одно из чисел (1x)y, (1y)z, (1z)x не меньше 14.
посмотреть в олимпиаде

Комментарий/решение:

  0
3 года 10 месяца назад #

Буду идти от противного, пусть все эти выражения меньше 0,25. Умножим все эти неравенства: 0,253>xyz(1x)(1y)(1z)=(xyz)2, тогда 1/8>xyz. Но xyz=1xyz+xy+yz+zxxyz из чего выходит что: 2xyz=1(1x)y(1y)z(1z)x>130,25=0,25. Это означает что 1/8>xyz>1/8. Противоречие.