13-я Балканская математическая олимпиада среди юниоровСараево, Босния и Герцеговина, 2009 год

Дан выпуклый пятиугольник $ ABCDE$, в котором $ AB+CD=BC+DE$. Окружность $ k$, центр которой лежит на стороне $AE$, касается сторон $ AB$, $ BC$, $ CD$ и $ DE$ в точках $ P$, $ Q$, $ R$ и $ S$ (отличные от вершин пятиугольника) соответственно. Докажите, что прямые $ PS$ и $ AE$ параллельны.

Комментарий/решение

По условию $AB+CD=BC+DE$ или что тоже самое через отрезки касательных $PB+AP+CR+RD = BQ+QC+DS+SE$ . Так как $PB=BQ ; \ \ CQ=RS ; \ \ RD=DS$ откуда $AP=SE$, $O$ центр окружности $\in AE$ то получим что $OP \perp AB , OS \perp DE$ , то есть четырехугольник $APSE$ равнобедренная трапеция , Откуда $PS ||AE$ .