Математикадан жасөспірімдер арасындағы 13-ші Балкан олимпиадасы 2009 жыл, Сараево

$ AB+CD=BC+DE$ болатын дөңес $ ABCDE$ бесбұрышы берілген. Центрі $AE$ қабырғасында жататын $ k$ шеңбері $ AB$, $ BC$, $ CD$ және $ DE$ қабырғаларын сәйкесінше $ P$, $ Q$, $ R$ және $ S$ нүктелерінде жанайды (бесбұрыш төбелерінен өзге). $ PS$ және $ AE$ түзулері параллель екенін дәлелдеңіздер.

Комментарий/решение

По условию $AB+CD=BC+DE$ или что тоже самое через отрезки касательных $PB+AP+CR+RD = BQ+QC+DS+SE$ . Так как $PB=BQ ; \ \ CQ=RS ; \ \ RD=DS$ откуда $AP=SE$, $O$ центр окружности $\in AE$ то получим что $OP \perp AB , OS \perp DE$ , то есть четырехугольник $APSE$ равнобедренная трапеция , Откуда $PS ||AE$ .