Городская Жаутыковская олимпиада, 8 класс, 2015 год

Задача №1. Решите уравнение:

${{x}^{2}}+\dfrac{1}{{{x}^{2}}+1}=1$ .
комментарий/решение(2)

Задача №2. Для различных положительных чисел

$a$ и

$b$ выполняется равенство

$\dfrac{1}{1+a}+\dfrac{1}{1+b}=\dfrac{2}{1+\sqrt{ab}}$ . Докажите, что

$a$ и

$b$ — взаимно обратные числа.
комментарий/решение(1)

Задача №3. Натуральные числа

$a$ ,

$b$ ,

$c$ удовлетворяет условию

$\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}=1$ . Доказать неравенство:

$(a-1)(b-1)(c-1)\geq 8$ .
комментарий/решение(3)

Задача №4. Высоты

$AA_1$ и

$BB_1$ треугольника

$ABC$ пересекаются в точке

$H$ . Точки

$X$ и

$Y$ — середины отрезков

$AB$ и

$CH$ соответственно. Докажите, что

$XY$ и

$A_1B_1$ перпендикулярны.
комментарий/решение(4)

Задача №5. Пусть

$f(x) = x^2 - 2x$ . Найти все

$x$ , при которых

$f(f(x)) < 3$ .
комментарий/решение(5)

Задача №6. В некотором числе переставили цифры и получилось в три раза меньшее число. Докажите, что исходное число делилось на 27.
комментарий/решение(1)

Задача №7. Доказать равенство:

$\sqrt {1 + \frac{1}{{{1^2}}} + \frac{1}{{{2^2}}}} + \sqrt {1 + \frac{1}{{{2^2}}} + \frac{1}{{{3^2}}}} + \ldots + \sqrt {1 + \frac{1}{{{{2014}^2}}} + \frac{1}{{{{2015}^2}}}} = 2015 - \frac{1}{{2015}}$
комментарий/решение(1)

Задача №8. Среди шести монет находится одна фальшивая, но не известно, легче она настоящих или тяжелее. Среди этих монет известна также одна настоящая. Необходимо с помощью двух взвешиваний на рычажных весах определить фальшивую монету.
комментарий/решение(1)