қазақша
русскийГородская Жаутыковская олимпиада, 8 класс, 2015 год
Задача №2. Для различных положительных чисел $a$ и $b$ выполняется равенство $\dfrac{1}{1+a}+\dfrac{1}{1+b}=\dfrac{2}{1+\sqrt{ab}}$. Докажите, что $a$ и $b$ — взаимно обратные числа.
комментарий/решение(1)
комментарий/решение(1)
Задача №3. Натуральные числа $a$, $b$, $c$ удовлетворяет условию $\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}=1$. Доказать неравенство: $(a-1)(b-1)(c-1)\geq 8$.
комментарий/решение(3)
комментарий/решение(3)
Задача №4. Высоты $AA_1$ и $BB_1$ треугольника $ABC$ пересекаются в точке $H$. Точки $X$ и $Y$ — середины отрезков $AB$ и $CH$ соответственно. Докажите, что $XY$ и $A_1B_1$ перпендикулярны.
комментарий/решение(4)
комментарий/решение(4)
Задача №5. Пусть $f(x) = x^2 - 2x$. Найти все $x$, при которых $f(f(x)) < 3$.
комментарий/решение(5)
комментарий/решение(5)
Задача №6. В некотором числе переставили цифры и получилось в три раза меньшее число. Докажите, что исходное число делилось на 27.
комментарий/решение(1)
комментарий/решение(1)
Задача №7. Доказать равенство: $\sqrt {1 + \frac{1}{{{1^2}}} + \frac{1}{{{2^2}}}} + \sqrt {1 + \frac{1}{{{2^2}}} + \frac{1}{{{3^2}}}} + \ldots + \sqrt {1 + \frac{1}{{{{2014}^2}}} + \frac{1}{{{{2015}^2}}}} = 2015 - \frac{1}{{2015}}$
комментарий/решение(1)
комментарий/решение(1)
Задача №8. Среди шести монет находится одна фальшивая, но не известно, легче она настоящих или тяжелее. Среди этих монет известна также одна настоящая. Необходимо с помощью двух взвешиваний на рычажных весах определить фальшивую монету.
комментарий/решение(1)
комментарий/решение(1)