Городская Жаутыковская олимпиада, 8 класс, 2015 год

Натуральные числа $a$, $b$, $c$ удовлетворяет условию $\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}=1$. Доказать неравенство: $(a-1)(b-1)(c-1)\geq 8$.

Комментарий/решение

$abc=ab+bc+ac$ , откуда следует что из $(a-1)(b-1)(c-1) \geq 8$ , получаем $a+b+c \geq 9$ , что верно , так как

$\dfrac{3}{\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}} \leq \dfrac{a+b+c}{3}$

$a+b+c \geq 9$

$$\frac{1}{a}=x, \frac{1}{b}=y, \frac{1}{z}=z \Rightarrow x+y+z=1\Rightarrow$$

$$\Rightarrow (a-1)(b-1)(c-1)=\left(\frac{1}{x}-1\right)\left(\frac{1}{y}-1\right)\left(\frac{1}{z}-1\right)=$$

$$=\frac{(\overbrace{1}^{x+y+z}-x)(1-y)(1-z)}{xyz}=\frac{(x+y)(y+z)(z+x)}{xyz}\geq 8\Rightarrow$$

$$\Rightarrow (x+y)(y+z)(z+x)\geq 8xyz \Leftrightarrow$$

$$\Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} x+y \geq {2\sqrt{xy}} \\ y+z \geq {2 \sqrt{yz}} \\ z+x \geq 2{\sqrt{zx}} \\ \end{gathered} \right. $$