Қалалық Жәутіков олимпиадасы
8 сынып, 2015 жыл
Есеп №2. Әртүрлі оң a және b сандары үшін 11+a+11+b=21+√ab теңдігі орындалады. ab=1 екенін дәлелдеңдер.
комментарий/решение(1)
комментарий/решение(1)
Есеп №3. Натурал a, b, c сандары 1a+1b+1c=1 шартын қанағаттандырады. Теңсіздікті дәлелдеңдер: (a−1)(b−1)(c−1)≥8.
комментарий/решение(3)
комментарий/решение(3)
Есеп №4. ABC үшбұрышының AA1 және BB1 биіктіктері H нүктесінде қиылысады. X және Y нүктелері сәйкесінше AB және CH кесінділерінің орталары. XY және A1B1 түзулері өзара перпендикуляр екенін дәлелдеңдер.
комментарий/решение(4)
комментарий/решение(4)
Есеп №5. f(x)=x2−2x болсын. f(f(x))<3 теңсіздігі орындалатындай барлық x-ті табыңдар.
комментарий/решение(5)
комментарий/решение(5)
Есеп №6. Қандай да бір санның цифрларының орындарын алмастырғаннан кейін одан үш есе кем сан шықты. Алғашқы санның 27-ге бөлінетінін дәлелдеңдер.
комментарий/решение(1)
комментарий/решение(1)
Есеп №7. Теңдікті дәлелдеңдер: √1+112+122+√1+122+132+…+√1+120142+120152=2015−12015.
комментарий/решение(1)
комментарий/решение(1)
Есеп №8. Алты тиынның (монета) ішінде бір жалғаны бар және ол нағыз тиыннан ауыр, не жеңіл екені белгісіз.
Және де осылардың ішінде бір нағыз тиын бар екені белгілі. Табақшалы таразыда екі рет өлшеп жалған тиынды табу керек.
комментарий/решение(1)
комментарий/решение(1)