Городская Жаутыковская олимпиада, 9 класс, 2005 год

Задача №1. Найдите наименьшее натуральное

$n$ такое, что количество нулей, которыми оканчивается число

$\left( n+10 \right)!$ на 2005 больше количества нулей, которыми оканчивается число

$n!$ .
комментарий/решение

Задача №2. Квадратный трехчлен

$f\left( x \right)=a{{x}^{2}}+bx+c$ , где

$a,b,c$ — целые,

$c$ — нечетное, имеет целые корни. Может ли

$f\left( 2005 \right)$ быть нечетным числом?
комментарий/решение(1)

Задача №3. Разность двух четырехзначных чисел равна 7. На сколько могут отличаться суммы их цифр?
комментарий/решение

Задача №4. Доказать, что если стороны треугольника образуют арифметическую прогрессию, то отрезок прямой, соединяющий точку пересечения медиан с центром вписанной окружности, параллелен средней стороне.
комментарий/решение(1)

Задача №5. В выпуклом четырехугольнике

$ABCD$

$\angle A=\angle D$ . Серединные перпендикуляры к сторонам

$AB$ и

$CD$ пересекаются в точке

$P$ , лежащей на стороне

$AD$ . Докажите, что диагонали

$AC$ и

$BD$ равны.
комментарий/решение(1)

Задача №6. Решите в целых числах уравнение:

$3\cdot {{2}^{x}}+1={{y}^{2}}$ .
комментарий/решение(3)