Городская Жаутыковская олимпиада, 9 класс, 2005 год

В выпуклом четырехугольнике $ABCD$ $\angle A=\angle D$. Серединные перпендикуляры к сторонам $AB$ и $CD$ пересекаются в точке $P$, лежащей на стороне $AD$. Докажите, что диагонали $AC$ и $BD$ равны.

Комментарий/решение

из условия получается $PC=PD$ и $PB=PA$ и $\angle APB = \angle CPD$ так как $\angle A = \angle D$ тогда $\angle APC = \angle BPD$ значит треугольники $APC,DPB$ равны по первому признаку, откуда $BD=AC$