Городская Жаутыковская олимпиада, 9 класс, 2005 год

Доказать, что если стороны треугольника образуют арифметическую прогрессию, то отрезок прямой, соединяющий точку пересечения медиан с центром вписанной окружности, параллелен средней стороне.

Комментарий/решение

1)Пусть стороны будут равны $x;x+d;x+2d$

Здесь $d$ - разность арифметической прогрессии.

2)Радиус вписанной окружности

$$r=\dfrac{S}{p} = \dfrac{2S}{3x+3d}$$

3)Высота, проведенная к средней стороне

$$2S=h\cdot (x+d)\Rightarrow h=\dfrac{2S}{x+d}$$

4)Медианы пересекают друг друга в одной точке, и делятся в отношении $2:1$

5)Опустим перпендикуляр от точки пересечения медиан к средней стороне. Из (4), его длина равна $h/3 = \dfrac{2S}{3x+3d}$

6)Так как перпендикуляры, опущенные из пересечения медиан и центра вписанной окружности равны по длине, то четырехугольник, образованный концами этих отрезков, это прямоугольник. А значит, отрезок прямой, соединяющий точку пересечения медиан с центром вписанной окружности, параллелен средней стороне.