Қалалық Жәутіков олимпиадасы 9 сынып, 2005 жыл

Үшбұрыштың қабырғалары арифметикалық прогрессия құрайды. Медианалардың қиылысу нүктесі мен үшбұрышқа іштей сызылған шеңбердің центрін қосатын кесінді үшбұрыштың ортаншы қабырғасына параллель болатынын дәлелдеңдер.

Комментарий/решение

1)Пусть стороны будут равны $x;x+d;x+2d$

Здесь $d$ - разность арифметической прогрессии.

2)Радиус вписанной окружности

$$r=\dfrac{S}{p} = \dfrac{2S}{3x+3d}$$

3)Высота, проведенная к средней стороне

$$2S=h\cdot (x+d)\Rightarrow h=\dfrac{2S}{x+d}$$

4)Медианы пересекают друг друга в одной точке, и делятся в отношении $2:1$

5)Опустим перпендикуляр от точки пересечения медиан к средней стороне. Из (4), его длина равна $h/3 = \dfrac{2S}{3x+3d} $

6)Так как перпендикуляры, опущенные из пересечения медиан и центра вписанной окружности равны по длине, то четырехугольник, образованный концами этих отрезков, это прямоугольник. А значит, отрезок прямой, соединяющий точку пересечения медиан с центром вписанной окружности, параллелен средней стороне.