Городская Жаутыковская олимпиада, 9 класс, 2005 год

Решите в целых числах уравнение: $3\cdot {{2}^{x}}+1={{y}^{2}}$.

Комментарий/решение

Ответ : $x=4;y=7$

Решение

1) $3\cdot 2^x + 1 = y^2\rightarrow 3\cdot 2^x = y^2-1 = (y-1)\cdot (y+1)$

2) Левая часть выражения (1) - по сути, разложение на простые множители. Из этих простых множителей составить два множителя $y-1$ и $y+1$ можно двумя способами:

Способ 1

$$y-1 = 3\cdot 2^\alpha\;\;\;\;\alpha\in\mathbb{N}_0;\alpha\in[0;x]$$

$$y+1 = 2^{x-\alpha}$$

Способ 2

$$y+1 = 3\cdot 2^\alpha\;\;\;\;\alpha\in\mathbb{N}_0;\alpha\in[0;x]$$

$$y-1 = 2^{x-\alpha}$$

3) Рассмотрим случай 1

$$(y+1)-(y-1) = 2^{x-\alpha} - 3\cdot 2^\alpha = 2$$

Разделим на $2$

$$2^{x-\alpha-1} - 3\cdot 2^{\alpha-1} = 1$$

Если $x-\alpha-1\ge 1$ и $\alpha-1 \ge 1$, то левая часть разделится на $2$, правая же - нет:

$$2^{x-\alpha-1} \equiv 0 \pmod {2}\;\;\;;\;3\cdot 2^{\alpha-1}\equiv 0 \pmod {2}\;\;\;;\; 1\equiv 1 \pmod {2}$$

Чтобы левая часть стала нечетной , нужно, чтобы выполнилось или $x-\alpha-1 = 0$, или $\alpha-1 =0$

4) Если $x-\alpha-1 = 0$

$$x-\alpha=1\rightarrow y+1 = 2^{x-\alpha} = 2^1 = 2$$

$$y+1 = 2\rightarrow y=1\rightarrow y-1 = 0 = 3\cdot 2^\alpha\;\;\;\;(*)$$

Показательное уравнение $(*)$ не имеет решений

5) Если $\alpha-1 =0$, то $\alpha = 1$

$$y-1 = 3\cdot 2^\alpha = 3\cdot 2^1 = 6\rightarrow y = 7$$

$$3\cdot 2^x + 1 = y^2\rightarrow x = \log_{2} \left(\dfrac{y^2 - 1}{3} \right)$$

$$ x = \log_{2} \left(\dfrac{7^2 - 1}{3} \right)=\log_{2}16 = 4$$

6) Случай 2 рассматривается аналогично. Там не будет ничего нового, так как к нулю приравнивать будем те же показатели степени.

логарифм в 9 классе, плачу

кстати, эта задача похожа на $JBMO$ $2009$

Теңдеуді келесідей жазамыз: $3\cdot 2^x=(y-1)(y+1).$

$y+1-(y-1)=y+1-y+1=2$ онда олардың ең үлкен ортақ бөлгіші $1$ немесе $2.$

Егер ең үлкен ортақ бөлгіші $1$ болса, $x=0, y=\pm2.$

Егер ең үлкен ортақ бөлгіші $2$ болса, келесі теңдеулер жүйесі шығады:

$1).$$\left\{ \begin{gathered}y-1 =\pm 2,\\y+1 =\pm 3\cdot 2^{x-1}. \\\end{gathered} \right..$ Шешімі жоқ.

$2).$$\left\{ \begin{gathered}y-1 =\pm 3\cdot 2^{x-1},\\y+1 =\pm 2. \\\end{gathered} \right.$ Шешімі жоқ.

$3).$ $\left\{ \begin{gathered}y-1 =\pm 3\cdot 2,\\y+1 =\pm 2^{x-1}. \\\end{gathered} \right.$ $\left\{\begin{gathered}x=-5,\\y=3,\\\end{gathered}\right., \left\{\begin{gathered}x=7,\\y=4,\\\end{gathered}\right.$

$4).$ $\left\{ \begin{gathered}y-1 =\pm 2^{x-1},\\y+1 =\pm 3\cdot 2. \\\end{gathered} \right.$ $\left\{\begin{gathered}x=5,\\y=3,\\\end{gathered}\right., \left\{\begin{gathered}x=-7,\\y=4,\\\end{gathered}\right.$

Жауабы: $x,y\in \left \{ (\pm 2;0);(\pm 5;3);(\pm 7;4)\right \}.$