Processing math: 31%

Қалалық Жәутіков олимпиадасы
9 сынып, 2005 жыл


Теңдеуді бүтін сандар жиынында шешіңдер: 32x+1=y2.
посмотреть в олимпиаде

Комментарий/решение:

  1
3 года 8 месяца назад #

Ответ : x=4;y=7

Решение

1) 32x+1=y232x=y21=(y1)(y+1)

2) Левая часть выражения (1) - по сути, разложение на простые множители. Из этих простых множителей составить два множителя y1 и y+1 можно двумя способами:

Способ 1

y1=32ααN0;α[0;x]

y+1=2xα

Способ 2

y+1=32ααN0;α[0;x]

y1=2xα

3) Рассмотрим случай 1

(y+1)(y1)=2xα32α=2

Разделим на 2

2xα132α1=1

Если xα11 и α11, то левая часть разделится на 2, правая же - нет:

2^{x-\alpha-1} \equiv 0 \pmod {2}\;\;\;;\;3\cdot 2^{\alpha-1}\equiv 0 \pmod {2}\;\;\;;\; 1\equiv 1 \pmod {2}

Чтобы левая часть стала нечетной , нужно, чтобы выполнилось или x-\alpha-1 = 0, или \alpha-1 =0

4) Если x-\alpha-1 = 0

x-\alpha=1\rightarrow y+1 = 2^{x-\alpha} = 2^1 = 2

y+1 = 2\rightarrow y=1\rightarrow y-1 = 0 = 3\cdot 2^\alpha\;\;\;\;(*)

Показательное уравнение (*) не имеет решений

5) Если \alpha-1 =0, то \alpha = 1

y-1 = 3\cdot 2^\alpha = 3\cdot 2^1 = 6\rightarrow y = 7

3\cdot 2^x + 1 = y^2\rightarrow x = \log_{2} \left(\dfrac{y^2 - 1}{3} \right)

x = \log_{2} \left(\dfrac{7^2 - 1}{3} \right)=\log_{2}16 = 4

6) Случай 2 рассматривается аналогично. Там не будет ничего нового, так как к нулю приравнивать будем те же показатели степени.

пред. Правка 2   0
3 года назад #

логарифм в 9 классе, плачу

кстати, эта задача похожа на JBMO 2009

  1
3 года 8 месяца назад #

Теңдеуді келесідей жазамыз: 3\cdot 2^x=(y-1)(y+1).

y+1-(y-1)=y+1-y+1=2 онда олардың ең үлкен ортақ бөлгіші 1 немесе 2.

Егер ең үлкен ортақ бөлгіші 1 болса, x=0, y=\pm2.

Егер ең үлкен ортақ бөлгіші 2 болса, келесі теңдеулер жүйесі шығады:

1).\left\{ \begin{gathered}y-1 =\pm 2,\\y+1 =\pm 3\cdot 2^{x-1}. \\\end{gathered} \right.. Шешімі жоқ.

2).\left\{ \begin{gathered}y-1 =\pm 3\cdot 2^{x-1},\\y+1 =\pm 2. \\\end{gathered} \right. Шешімі жоқ.

3). \left\{ \begin{gathered}y-1 =\pm 3\cdot 2,\\y+1 =\pm 2^{x-1}. \\\end{gathered} \right. \left\{\begin{gathered}x=-5,\\y=3,\\\end{gathered}\right., \left\{\begin{gathered}x=7,\\y=4,\\\end{gathered}\right.

4). \left\{ \begin{gathered}y-1 =\pm 2^{x-1},\\y+1 =\pm 3\cdot 2. \\\end{gathered} \right. \left\{\begin{gathered}x=5,\\y=3,\\\end{gathered}\right., \left\{\begin{gathered}x=-7,\\y=4,\\\end{gathered}\right.

Жауабы: x,y\in \left \{ (\pm 2;0);(\pm 5;3);(\pm 7;4)\right \}.