Қалалық Жәутіков олимпиадасы
9 сынып, 2005 жыл
Комментарий/решение:
Ответ : x=4;y=7
Решение
1) 3⋅2x+1=y2→3⋅2x=y2−1=(y−1)⋅(y+1)
2) Левая часть выражения (1) - по сути, разложение на простые множители. Из этих простых множителей составить два множителя y−1 и y+1 можно двумя способами:
Способ 1
y−1=3⋅2αα∈N0;α∈[0;x]
y+1=2x−α
Способ 2
y+1=3⋅2αα∈N0;α∈[0;x]
y−1=2x−α
3) Рассмотрим случай 1
(y+1)−(y−1)=2x−α−3⋅2α=2
Разделим на 2
2x−α−1−3⋅2α−1=1
Если x−α−1≥1 и α−1≥1, то левая часть разделится на 2, правая же - нет:
2^{x-\alpha-1} \equiv 0 \pmod {2}\;\;\;;\;3\cdot 2^{\alpha-1}\equiv 0 \pmod {2}\;\;\;;\; 1\equiv 1 \pmod {2}
Чтобы левая часть стала нечетной , нужно, чтобы выполнилось или x-\alpha-1 = 0, или \alpha-1 =0
4) Если x-\alpha-1 = 0
x-\alpha=1\rightarrow y+1 = 2^{x-\alpha} = 2^1 = 2
y+1 = 2\rightarrow y=1\rightarrow y-1 = 0 = 3\cdot 2^\alpha\;\;\;\;(*)
Показательное уравнение (*) не имеет решений
5) Если \alpha-1 =0, то \alpha = 1
y-1 = 3\cdot 2^\alpha = 3\cdot 2^1 = 6\rightarrow y = 7
3\cdot 2^x + 1 = y^2\rightarrow x = \log_{2} \left(\dfrac{y^2 - 1}{3} \right)
x = \log_{2} \left(\dfrac{7^2 - 1}{3} \right)=\log_{2}16 = 4
6) Случай 2 рассматривается аналогично. Там не будет ничего нового, так как к нулю приравнивать будем те же показатели степени.
Теңдеуді келесідей жазамыз: 3\cdot 2^x=(y-1)(y+1).
y+1-(y-1)=y+1-y+1=2 онда олардың ең үлкен ортақ бөлгіші 1 немесе 2.
Егер ең үлкен ортақ бөлгіші 1 болса, x=0, y=\pm2.
Егер ең үлкен ортақ бөлгіші 2 болса, келесі теңдеулер жүйесі шығады:
1).\left\{ \begin{gathered}y-1 =\pm 2,\\y+1 =\pm 3\cdot 2^{x-1}. \\\end{gathered} \right.. Шешімі жоқ.
2).\left\{ \begin{gathered}y-1 =\pm 3\cdot 2^{x-1},\\y+1 =\pm 2. \\\end{gathered} \right. Шешімі жоқ.
3). \left\{ \begin{gathered}y-1 =\pm 3\cdot 2,\\y+1 =\pm 2^{x-1}. \\\end{gathered} \right. \left\{\begin{gathered}x=-5,\\y=3,\\\end{gathered}\right., \left\{\begin{gathered}x=7,\\y=4,\\\end{gathered}\right.
4). \left\{ \begin{gathered}y-1 =\pm 2^{x-1},\\y+1 =\pm 3\cdot 2. \\\end{gathered} \right. \left\{\begin{gathered}x=5,\\y=3,\\\end{gathered}\right., \left\{\begin{gathered}x=-7,\\y=4,\\\end{gathered}\right.
Жауабы: x,y\in \left \{ (\pm 2;0);(\pm 5;3);(\pm 7;4)\right \}.
Возможно, что при неправильном наборе формул, они будут
доредактированы модератором. При этом содержание не будет меняться.