қазақша
русскийМатематикадан Алматы қаласының олимпиадасы, 2014 жыл
Есеп №1. $l$ түзуі — сүйірбұрышты $ABC$ үшбұрышына сырттай сызылған шеңберге $B$ нүктесінде жүргізілген жанама түзу. $K$ нүктесі — үшбұрыштың ортоцентірінен $l$-ге түсірілген проекция, ал $L$ — $AC$ қабырғасының ортасы. $BKL$ үшбұрышының теңбүйірлі екенін дәлелдеңіз.
комментарий/решение(1)
комментарий/решение(1)
Есеп №2. ${{x}^{2}}+px+q=0$ және ${{x}^{2}}+qx+p=0$ теңдеулерінің түбірлері бүтін сандар болатындай барлық бүтін $\left( p,q \right)$ жұптарын табыңыздар.
комментарий/решение(1)
комментарий/решение(1)
Есеп №3. $A$ жиыны бүтін сандардан тұрады. Оның ең кіші элементі 1-ге тең, ал ең үлкен элементі 100-ге тең. $A$ жиынының 1-ден басқа әрбір элементі осы жиынның басқа қандай да бір екі элементтің (мүмкін өзара тең) қосындысына тең. Осы шартты қанағаттандыратын $A$ жиынында ең аз дегенде қанша элемент болуы мүмкін?
комментарий/решение(3)
комментарий/решение(3)
Есеп №4. $x$, $y$ және $z$ оң сандарының қосындысы 1-ге тең. Келесі теңсіздікті дәлелдеңіздер: $\dfrac{{{x}^{2}}+3xy}{x+y}+\dfrac{{{y}^{2}}+3yz}{y+z}+\dfrac{{{z}^{2}}+3zx}{z+x}\le 2.$
комментарий/решение(1)
комментарий/решение(1)