Математикадан Алматы қаласының олимпиадасы, 2014 жыл
Есеп №1. l түзуі — сүйірбұрышты ABC үшбұрышына сырттай сызылған шеңберге B нүктесінде жүргізілген жанама түзу. K нүктесі — үшбұрыштың ортоцентірінен l-ге түсірілген проекция, ал L — AC қабырғасының ортасы. BKL үшбұрышының теңбүйірлі екенін дәлелдеңіз.
комментарий/решение(1)
комментарий/решение(1)
Есеп №2. x2+px+q=0 және x2+qx+p=0 теңдеулерінің түбірлері бүтін сандар болатындай барлық бүтін (p,q) жұптарын табыңыздар.
комментарий/решение(1)
комментарий/решение(1)
Есеп №3. A жиыны бүтін сандардан тұрады. Оның ең кіші элементі 1-ге тең, ал ең үлкен элементі 100-ге тең. A жиынының 1-ден басқа әрбір элементі осы жиынның басқа қандай да бір екі элементтің (мүмкін өзара тең) қосындысына тең. Осы шартты қанағаттандыратын A жиынында ең аз дегенде қанша элемент болуы мүмкін?
комментарий/решение(3)
комментарий/решение(3)
Есеп №4. x, y және z оң сандарының қосындысы 1-ге тең. Келесі теңсіздікті дәлелдеңіздер: x2+3xyx+y+y2+3yzy+z+z2+3zxz+x≤2.
комментарий/решение(1)
комментарий/решение(1)