Математикадан Алматы қаласының олимпиадасы, 2014 жыл

Есеп №1.

$l$ түзуі — сүйірбұрышты

$ABC$ үшбұрышына сырттай сызылған шеңберге

$B$ нүктесінде жүргізілген жанама түзу.

$K$ нүктесі — үшбұрыштың ортоцентірінен

$l$ -ге түсірілген проекция, ал

$L$ —

$AC$ қабырғасының ортасы.

$BKL$ үшбұрышының теңбүйірлі екенін дәлелдеңіз.
комментарий/решение(1)

Есеп №2.

${{x}^{2}}+px+q=0$ және

${{x}^{2}}+qx+p=0$ теңдеулерінің түбірлері бүтін сандар болатындай барлық бүтін

$\left( p,q \right)$ жұптарын табыңыздар.
комментарий/решение(1)

Есеп №3.

$A$ жиыны бүтін сандардан тұрады. Оның ең кіші элементі 1-ге тең, ал ең үлкен элементі 100-ге тең.

$A$ жиынының 1-ден басқа әрбір элементі осы жиынның басқа қандай да бір екі элементтің (мүмкін өзара тең) қосындысына тең. Осы шартты қанағаттандыратын

$A$ жиынында ең аз дегенде қанша элемент болуы мүмкін?
комментарий/решение(3)

Есеп №4.

$x$ ,

$y$ және

$z$ оң сандарының қосындысы 1-ге тең. Келесі теңсіздікті дәлелдеңіздер:

$\dfrac{{{x}^{2}}+3xy}{x+y}+\dfrac{{{y}^{2}}+3yz}{y+z}+\dfrac{{{z}^{2}}+3zx}{z+x}\le 2.$
комментарий/решение(1)