Городская олимпиада по математике среди физ-мат школАлматы, 2014 год

Сумма положительных чисел $a$, $b$ и $c$ равна 1. Докажите неравенство $\dfrac{{{a}^{2}}+3ab}{a+b}+\dfrac{{{b}^{2}}+3bc}{b+c}+\dfrac{{{c}^{2}}+3ca}{c+a}\le 2$.

Комментарий/решение

$\dfrac{a^2+3ab}{a+b}=\dfrac{a(a+b)+2ab}{a+b}=a+\dfrac{2ab}{a+b}.$ Тогда неравенство переписывается в виде:

$$a+b+c+\dfrac{2ab}{a+b}+\dfrac{2bc}{b+c}+\dfrac{2ca}{c+a} \leq 2;$$

$$\dfrac{2ab}{a+b}+\dfrac{2bc}{b+c}+\dfrac{2ca}{c+a} \leq 1;$$

Неравенство эквивалентно:$\dfrac{4ab}{a+b}+\dfrac{4bc}{b+c}+\dfrac{4ca}{c+a} \leq (a+b)+(b+c)+(c+a)$. А это неравенство верно, т. к.$\dfrac{4ab}{a+b} \leq a+b \Rightarrow 2\sqrt{ab} \leq a+b$