Математикадан Алматы қаласының олимпиадасы, 2014 жыл

$x$, $y$ және $z$ оң сандарының қосындысы 1-ге тең. Келесі теңсіздікті дәлелдеңіздер: $\dfrac{{{x}^{2}}+3xy}{x+y}+\dfrac{{{y}^{2}}+3yz}{y+z}+\dfrac{{{z}^{2}}+3zx}{z+x}\le 2.$

Комментарий/решение

$\dfrac{a^2+3ab}{a+b}=\dfrac{a(a+b)+2ab}{a+b}=a+\dfrac{2ab}{a+b}.$ Тогда неравенство переписывается в виде:

$$a+b+c+\dfrac{2ab}{a+b}+\dfrac{2bc}{b+c}+\dfrac{2ca}{c+a} \leq 2;$$

$$\dfrac{2ab}{a+b}+\dfrac{2bc}{b+c}+\dfrac{2ca}{c+a} \leq 1;$$

Неравенство эквивалентно:$\dfrac{4ab}{a+b}+\dfrac{4bc}{b+c}+\dfrac{4ca}{c+a} \leq (a+b)+(b+c)+(c+a)$. А это неравенство верно, т. к.$\dfrac{4ab}{a+b} \leq a+b \Rightarrow 2\sqrt{ab} \leq a+b$