Математикадан Алматы қаласының олимпиадасы, 2010 жыл

Есеп №1.

$a_1, a_2, \dots, a_n$ бүтін сандар тізбегі арифметикалық прогрессия құрайды, және кез келген

$i=1, 2, \dots , n-1$ үшін

$a_n$ саны

$i$ санына бөлінеді де, және де сол

$a_n$ саны

$n$ санына бөлінбейді.

$n$ санының жай санның дәрежесі екенін дәлелдеңіздер. ( Д. Елиусизов )
комментарий/решение(1)

Есеп №2. Шахмат турниріне қатысқан 8 қатысушының барлығы өзара әртүрлі ұпай санын жинаған. Екінші орын алған қатысушының ұпай саны, соңғы төрт орынға ие болған қатысушылардың ұпай қосындыларына тең. 3-ші және 7-ші орын алған қатысушылар бір бірімен қалай ойнаған? (Шахматта жеңіс үшін 1, тең ойын үшін 1/2, жеңіліс үшін 0 ұпай беріледі. Турнирде әр адам басқа адаммен дәл бір рет ойнаған.)
комментарий/решение(1)

Есеп №3.

$\omega$ шеңбері

$ABCD$ төртбұрышына сырттай сызылған.

$AB$ және

$DC$ сәулелері

$K$ , ал

$AD$ и

$BC$ сәулелері

$L$ нүктесінде қиылысады.

$\omega$ -ның центрі арқылы өтетін және

$KL$ -ге перпендикуляр түзу

$KL$ ,

$CD$ және

$AD$ түзулерін сәйкесінше

$P$ ,

$Q$ және

$R$ нүктелерінде қияды.

$QL$ ,

$BP$ және

$KR$ түзулерінің бір нүктеде қиылысатынын дәлелдеңіздер. ( М. Кунгожин )
комментарий/решение

Есеп №4.

$ABC$ үшбұрышында

$BK$ биссектрисасы жүргізілген.

$ABK$ үшбұрышына сырттай сызылған

$\omega$ шеңберіне

$K$ нүктесінде жүргізілген жанама

$BC$ қабырғасын

$L$ нүктеде қияды.

$AL$ түзуі

$\omega$ -ны екінші рет

$M$ нүктесінде қисын.

$BM$ түзуінің

$KL$ кесіндісін қақ бөлетінін дәлелдеңіздер. ( М. Кунгожин )
комментарий/решение(2)

Есеп №5. Нақты

$x, y, z \in (0;1)$ сандары үшін

$8xyz = (1 - x)(1 - y)(1 - z)$ теңдігі орындалады.

$x+y+z \geq 1$ теңсіздігін дәлелдеңіздер. ( Д. Елиусизов )
комментарий/решение(1)

Есеп №6. Шегіртке координат өсіндегі 0 нүктеде тұр. Әр секірім сайын оған координатасы

$x$ болатын нүктеден координатасы

$x + 1$ немесе

$2x$ болатын нүктеге секіру рұқсат. Координаттың «салмағы» деп, сол координатаға жетуге қажет секірім санының ең кішісін айтамыз. Координатасы

$x < 2010$ болатын ең үлкен салмақты табыңыздар. ( Д. Елиусизов )
комментарий/решение