Районная олимпиада, 2014-2015 учебный год, 11 класс

Полные решения этих задач опубликованы в книге, доступный для заказа по ссылке

Задача №1. Найдите область значений функции

$f(x)=\cos^2 x+\sin x$ .
комментарий/решение(1)

Задача №2. В треугольнике

$ABC$ точка

$M$ — середина стороны

$BC$ . Параллелограмм

$BCDE$ построен вне треугольника

$ABC$ так, что

$BE\parallel AM$ и

$BE=\dfrac{1}{2}AM$ . Докажите, что прямая

$EM$ делит пополам отрезок

$AD$ .
комментарий/решение(1)

Задача №3. Пусть

$n$ — натуральное число. Докажите, что число

${{2}^{{{2}^{n}}}}+{{2}^{{{2}^{n-1}}}}+1$ имеет по крайней мере

$n$ различных простых делителей.
комментарий/решение(1)

Задача №4. Найдите количество различных тупоугольных треугольников, длины сторон которых — натуральные числа, а периметр равен 40.
комментарий/решение(1)

Задача №5. Решите уравнение

$\sqrt{2{{x}^{2}}+2x+3}+\sqrt{2{{x}^{2}}+2}=\sqrt{3{{x}^{2}}+2x-1}+\sqrt{{{x}^{2}}+6}$ в действительных числах.
комментарий/решение(1)

Задача №6. Сколькими способами можно выбрать 56 различных клеток на шахматной доске

$8\times 8$ так, чтобы все черные клетки были выбраны, а в каждой строке и в каждом столбце было выбрано ровно по 7 клеток?
комментарий/решение(2)