қазақша
русскийРайонная олимпиада, 2014-2015 учебный год, 11 класс
Полные решения этих задач опубликованы в книге, доступный для заказа по ссылке
Задача №2. В треугольнике $ABC$ точка $M$ — середина стороны $BC$. Параллелограмм $BCDE$ построен вне треугольника $ABC$ так, что $BE\parallel AM$ и $BE=\dfrac{1}{2}AM$. Докажите, что прямая $EM$ делит пополам отрезок $AD$.
комментарий/решение(1)
комментарий/решение(1)
Задача №3. Пусть $n$ — натуральное число. Докажите, что число ${{2}^{{{2}^{n}}}}+{{2}^{{{2}^{n-1}}}}+1$ имеет по крайней мере $n$ различных простых делителей.
комментарий/решение(1)
комментарий/решение(1)
Задача №4. Найдите количество различных тупоугольных треугольников, длины сторон которых — натуральные числа, а периметр равен 40.
комментарий/решение(1)
комментарий/решение(1)
Задача №5. Решите уравнение
$$\sqrt{2{{x}^{2}}+2x+3}+\sqrt{2{{x}^{2}}+2}=\sqrt{3{{x}^{2}}+2x-1}+\sqrt{{{x}^{2}}+6}$$ в действительных числах.
комментарий/решение(1)
комментарий/решение(1)
Задача №6. Сколькими способами можно выбрать 56 различных клеток на шахматной доске $8\times 8$ так, чтобы все черные клетки были выбраны, а в каждой строке и в каждом столбце было выбрано ровно по 7 клеток?
комментарий/решение(2)
комментарий/решение(2)