Районная олимпиада, 2014-2015 учебный год, 11 класс

Пусть $n$ — натуральное число. Докажите, что число ${{2}^{{{2}^{n}}}}+{{2}^{{{2}^{n-1}}}}+1$ имеет по крайней мере $n$ различных простых делителей.

Комментарий/решение

Комментарии от администратора Комментарии от администратора №1.     Решение. Воспользуемся тождеством $$x^4+ x^2+ 1 = (x^2+ 1 - x)(x^2+1+x).$$ При $x=2^{2^{n-2}}$ получаем, что рассматриваемое число является произведением чисел $2^{2^{n-1}} +2^{2^{n-2}}+ 1$ и $2^{2^{n-1}}-2^{2^{n-2}}+1$. Эти числа взаимно просты, поскольку они нечётны, а их разность равна $2^{2^{n-2}+1}$. Теперь можно воспользоваться индукцией по $n$, поскольку число $2^{2^{n-1}}+2^{2^{n-2}}+1$ имеет тот же самый вид, и доказать разложимость исходного числа на $n$ взаимно простых множителя больше 1. Тогда оно имеет $n$ различных простых делителя.