Районная олимпиада, 2014-2015 учебный год, 11 класс

Найдите область значений функции $f(x)=\cos^2 x+\sin x$.

Комментарий/решение

Комментарии от администратора Комментарии от администратора №1.     Ответ: $f(x) \in \left[-1,1\frac{1}{4}\right]$.
Решение. Заметим, что $f(x)=\cos ^2 x+\sin x \geq \sin x \geq -1$ и \[f(x)={\cos ^2}x + \sin x = 1 - {\sin ^2}x + \sin x = \frac{5}{4} - {\left( {\sin x - \frac{1}{2}} \right)^2}.\] Тогда максимальное значение $f(x)$ равно $\dfrac{5}{4}$ и достигается оно при $\sin x=\dfrac{1}{2}$; минимальное значение $f(x)$ равно $-1$ и достигается оно при $\sin x = -1$.