Районная олимпиада, 2014-2015 учебный год, 11 класс

Решите уравнение $$\sqrt{2{{x}^{2}}+2x+3}+\sqrt{2{{x}^{2}}+2}=\sqrt{3{{x}^{2}}+2x-1}+\sqrt{{{x}^{2}}+6}$$ в действительных числах.

Комментарий/решение

Комментарии от администратора Комментарии от администратора №1.     Ответ: $-3$, $-2$, $1$, $2$.
Решение. Так как $2x^2+2x+3 =2{\left( {x + \frac{1}{2}} \right)^2} + \frac{5}{2} > 0$, то ОДЗ есть множество решении неравенства $3x^2+2x-1=(3x-1)(x+1) \geq 0$, то есть $x \in ( - \infty, -1] \cup \left[ { \frac{1}{3}}, + \infty \right)$. Заметим, что сумма подкоренных выражении левой части равенства, равна сумме подкоренных выражении правой. Возведя уравнение в квадрат два раза, можно получить эквивалентное уравнение \[(2x^2 + 2x + 3) \cdot (2x^2 + 2) = (3x^2 + 2x - 1) \cdot (x^2 + 6) \Leftrightarrow\] \[\Leftrightarrow {x^4} + 2{x^3} - 7{x^2} - 8x + 12 = 0 \Leftrightarrow (x - 1)(x - 2)(x + 2)(x + 3)=0.\] Как видим, корнями нашего уравнения являются числа $-3$, $-2$, $1$, $2$.