Районная олимпиада, 2014-2015 учебный год, 11 класс
Решите уравнение
√2x2+2x+3+√2x2+2=√3x2+2x−1+√x2+6 в действительных числах.
посмотреть в олимпиаде
Комментарий/решение:
Комментарии от администратора Комментарии от администратора №1. Ответ: −3, −2, 1, 2.
Решение. Так как 2x2+2x+3=2(x+12)2+52>0, то ОДЗ есть множество решении неравенства 3x2+2x−1=(3x−1)(x+1)≥0, то есть x∈(−∞,−1]∪[13,+∞). Заметим, что сумма подкоренных выражении левой части равенства, равна сумме подкоренных выражении правой. Возведя уравнение в квадрат два раза, можно получить эквивалентное уравнение
(2x2+2x+3)⋅(2x2+2)=(3x2+2x−1)⋅(x2+6)⇔
⇔x4+2x3−7x2−8x+12=0⇔(x−1)(x−2)(x+2)(x+3)=0.
Как видим, корнями нашего уравнения являются числа −3, −2, 1, 2.
Возможно, что при неправильном наборе формул, они будут
доредактированы модератором. При этом содержание не будет меняться.