Решения: Республиканская олимпиада, Районный этап

Районная олимпиада, 2014-2015 учебный год, 11 класс

В треугольнике

$ABC$ точка

$M$ — середина стороны

$BC$ . Параллелограмм

$BCDE$ построен вне треугольника

$ABC$ так, что

$BE\parallel AM$ и

$BE=\dfrac{1}{2}AM$ . Докажите, что прямая

$EM$ делит пополам отрезок

$AD$ .

посмотреть в олимпиаде

Комментарий/решение:

Комментарии от администратора Комментарии от администратора №1. Решение. По признаку параллелограмма, если в четырехугольнике две противоположные стороны равны и параллельны, то этот четырехугольник — параллелограмм.

Пусть

$N$ — середина

$AM$ ,

$K$ — точка пересечения отрезков

$AD$ и

$CN$ . Тогда

$AN=CD$ и

$AN \parallel CD$ , откуда

$ANDC$ — параллелограмм. Поэтому

$K$ — середина отрезков

$AD$ и

$CN$ . Как видим,

$KM$ — средняя линия треугольника

$BCN$ , поэтому

$KM \parallel BN$ . Также

$BN \parallel EM$ , так как

$BE=NM$ и

$BE \parallel NM$ . Следовательно, точки

$E,M,K$ лежат на одной прямой и

$K$ — середина

$AD$ .