Математикадан аудандық олимпиада, 2014-2015 оқу жылы, 11 сынып


$ABC$ үшбұрышында $M$ нүктесі — $BC$ қабырғасының ортасы. $BE\parallel AM$ және $BE=\dfrac{1}{2}AM$ болатындай, $ABC$ үшбұрышының сыртында $BCDE$ параллелограммы салынған. $EM$ түзуі $AD$ кесіндісін қақ ортасынан бөлетінін дәлелдеңіз.
посмотреть в олимпиаде

Комментарий/решение:

Комментарии от администратора Комментарии от администратора №1.     Решение. По признаку параллелограмма, если в четырехугольнике две противоположные стороны равны и параллельны, то этот четырехугольник — параллелограмм.

Пусть $N$ — середина $AM$, $K$ — точка пересечения отрезков $AD$ и $CN$. Тогда $AN=CD$ и $AN \parallel CD$, откуда $ANDC$ — параллелограмм. Поэтому $K$ — середина отрезков $AD$ и $CN$. Как видим, $KM$ — средняя линия треугольника $BCN$, поэтому $KM \parallel BN$. Также $BN \parallel EM$, так как $BE=NM$ и $BE \parallel NM$. Следовательно, точки $E,M,K$ лежат на одной прямой и $K$ — середина $AD$.