Районная олимпиада, 2014-2015 учебный год, 10 класс

Полные решения этих задач опубликованы в книге, доступный для заказа по ссылке

Задача №1. Решите систему уравнений

$\left\{ \begin{matrix} x+y+xy=19, \\ y+z+yz=11, \\ z+x+zx=14. \\ \end{matrix} \right.$
комментарий/решение(1)

Задача №2. В квадрате

$ABCD$ вершина

$A$ и середина стороны

$CD$ симметричны относительно прямой

$l$ . Найдите отношение площадей частей, на которые прямая

$l$ делит квадрат

$ABCD$ .
комментарий/решение(1)

Задача №3. Найдите все целые

$n$ , для которых

$\dfrac{8n-25}{n+5}$ — куб рационального числа.
комментарий/решение(1)

Задача №4. На какое натуральное число нужно умножить 2015, чтобы у полученного числа было ровно 12 натуральных делителей (включая единицу и само число)? (Найдите все возможные ответы и докажите, что других ответов нет.)
комментарий/решение(1)

Задача №5. Найдите наименьшее значение функции

$f\left( x \right)=\dfrac{{{x}^{4}}+6{{x}^{2}}+1}{{{x}^{3}}+x}$ на интервале

$\left( 0;+\infty \right)$ .
комментарий/решение(2)

Задача №6. Сколькими способами можно выбрать 56 различных клеток на шахматной доске

$8\times 8$ так, чтобы все черные клетки были выбраны, а в каждой строке и в каждом столбце было выбрано ровно по 7 клеток?
комментарий/решение(1)