Районная олимпиада, 2014-2015 учебный год, 10 класс

Найдите все целые $n$, для которых $\dfrac{8n-25}{n+5}$ — куб рационального числа.

Комментарий/решение

Комментарии от администратора Комментарии от администратора №1.     Пусть $\dfrac{{8n - 25}}{{n + 5}} = {\left( {\dfrac{p}{q}} \right)^3}$, где $p$ — целое, $q$ — натуральное, а $p$ и $q$ взаимно простые. Преобразуем последнее уравнение, получим \begin{align*} 8 - \frac{{65}}{{n + 5}} = \frac{{{p^3}}}{{{q^3}}}& \Leftrightarrow \frac{{8{q^3} - {p^3}}}{{{q^3}}} = \frac{{65}}{{n + 5}} \Leftrightarrow \\ &\Leftrightarrow \left( {n + 5} \right)\left( {2q - p} \right)\left( {4{q^2} + 2pq + {p^2}} \right) = 65{q^3} \quad (1) \end{align*} Заметим, что оба числа ${2q-p}$ и $4q^2+2pq+p^2$ взаимно просты с $q^3$. Поэтому из уравнения (1) следует, что $n+5=kq^3$ для какого-либо целого $k$. Подставив туда же последнее равенство, получим \[k\left( {2q - p} \right)\left( {4{q^2} + 2pq + {p^2}} \right) = 65=5 \cdot13. \] Так как квадрат целого числа не может давать остаток 2 при делении на 3 и $4{q^2}+ 2pq + {p^2}=(p+q)^2+3q^2 \geq 3$, то из всех возможных значении $5,13,65$ число $(p+q)^2+3q^2$ может принимать только значение 13. В этом случае $q=2$ и $p+q= \pm 1$. Тогда искомые пары $(p,q)$ это $(-3,2)$ и $(-1,2)$. Подставив эти значения в уравнение (1) можно убедиться, что в первом случае $n$ будет нецелым, во втором $n=3$.