Loading [MathJax]/jax/output/SVG/jax.js

Математикадан аудандық олимпиада, 2014-2015 оқу жылы, 10 сынып


8n25n+5 — рационал санның кубы болатындай барлық бүтін n санын табыңыз.
посмотреть в олимпиаде

Комментарий/решение:

Комментарии от администратора Комментарии от администратора №1.     Пусть 8n25n+5=(pq)3, где p — целое, q — натуральное, а p и q взаимно простые. Преобразуем последнее уравнение, получим 865n+5=p3q38q3p3q3=65n+5(n+5)(2qp)(4q2+2pq+p2)=65q3(1) Заметим, что оба числа 2qp и 4q2+2pq+p2 взаимно просты с q3. Поэтому из уравнения (1) следует, что n+5=kq3 для какого-либо целого k. Подставив туда же последнее равенство, получим k(2qp)(4q2+2pq+p2)=65=513. Так как квадрат целого числа не может давать остаток 2 при делении на 3 и 4q2+2pq+p2=(p+q)2+3q23, то из всех возможных значении 5,13,65 число (p+q)2+3q2 может принимать только значение 13. В этом случае q=2 и p+q=±1. Тогда искомые пары (p,q) это (3,2) и (1,2). Подставив эти значения в уравнение (1) можно убедиться, что в первом случае n будет нецелым, во втором n=3.