Районная олимпиада, 2014-2015 учебный год, 10 класс

Решите систему уравнений $$\left\{ \begin{matrix} x+y+xy=19, \\ y+z+yz=11, \\ z+x+zx=14. \\ \end{matrix} \right.$$

Комментарий/решение

Комментарии от администратора Комментарии от администратора №1.     Ответ: $(4,3,2)$ и $(-6,-5,-4)$.
Решение. Прибавим по единичке в каждое уравнение, получим $$\left\{ \begin{matrix} 1+x+y+xy=(1+x)(1+y)=20, \\ 1+y+z+yz=(1+y)(1+z)=12, \\ 1+z+x+zx=(1+z)(1+x)=15. \\ \end{matrix} \right.$$ Умножив первые два уравнения и разделив на третье, получим \[\frac{{(1 + x)(1 + y)(1 + y)(1 + z)}}{{(1 + x)(1 + z)}} = {(1 + y)^2} = \frac{{20 \cdot 12}}{{15}} = 16.\] Следовательно, $1+y=\pm 4$, что дает $y_1=3$ или $y_2=-5$. В первом случае получим $1+x_1=\frac{20}{1+y_1}=5$, $ x_1=4$, $1+z_1=\frac{15}{1+x_1}=3$, $z_1=2$. Делая аналогичные вычисления, во втором случае получим $y_2=-5$, $x_2=-6$, $z_2=-4$. Проверкой убеждаемся, что эти значения удовлетворяют системе.