Азия-тынық мұхит математикалық олимпиадасы, 2010 жыл

Есеп №1.

$ABC$ үшбұрышында

$\angle BAC \ne 90^\circ$ екенi белгiлi.

$ABC$ үшбұрышына сырттай сызылған шеңбердiң центрiн

$O$ деп белгiлейiк, ал

$BOC$ үшбұрышына сырттай сызылған шеңбер

$\Gamma$ болсын.

$\Gamma$ шеңберi

$AB$ кесiндiсiн

$B$ -дан басқа

$P$ нүктесiнде және

$AC$ кесiндiсiн

$C$ -дан басқа

$Q$ нүктесiнде қияды.

$ON$ кесiндiсi

$\Gamma$ шеңбердiң диаметрi болса, онда

$APNQ$ параллелограмм екенiн дәлелде.
комментарий/решение(2)

Есеп №2. Егер бүтiн санды

$m^k$ түрiнде, яғни

$m$ бүтiн санының натурал

$k$ дәрежесi түрiнде жазуға болатын болса, бiз оны толық

$k$ -шы дәреже деп атаймыз. Кез келген натурал

$n$ саны үшiн қосындысы толық 2009-шы дәреже, ал көбейтiндiсi толық 2010-шы дәреже болатын әртүрлi

$n$ натурал сан табылатынын дәлелде.
комментарий/решение(2)

Есеп №3. Олимпиадаға

$n$ оқушы қатысады (

$n$ — натурал сан). Кез келген екi қатысушы бiрiн-бiрi таниды немесе танымайды. Бiрiн-бiрi танымайтын, бiрақ ортақ таныстары бар қатысушылардың парлары ең көп дегенде қаншаға тең болуы мүмкiн?
комментарий/решение(1)

Есеп №4.

$ABC$ сүйiрбұрышты үшбұрышында

$AB > BC$ және

$AC > BC$ .

$ABC$ үшбұрышына сырттай сызылған шеңбердiң центрiн және ортоцентрiн сәйкесiнше

$O$ және

$H$ деп белгiлейiк.

$AHC$ үшбұрышына сырттай сызылған шеңбер

$AB$ түзуiн

$A$ -дан басқа

$M$ нүктесiнде қияды, ал

$AHB$ үшбұрышына сырттай сызылған шеңбер

$AC$ түзуiн

$A$ -дан басқа

$N$ нүктесiнде қияды.

$MNH$ үшбұрышына сырттай сызылған шеңбердiң центрi

$OH$ түзуiнiң бойында жататынын дәлелде. ( А. Баев )
комментарий/решение(1)

Есеп №5.

$\mathbb{R}$ — нақты сандардың жиыны. Кез келген

$x$ ,

$y$ ,

$z \in \mathbb{R}$ үшiн

$f(f(x) + f(y) + f(z)) = f(f(x)-f(y)) + f(2xy + f(z)) + 2f(xz-yz)$ тепе-теңдiгiн қанағаттандыратын барлық

${f : \mathbb{R}} \to \mathbb{R}$ функцияларын тап.
комментарий/решение(1)

результаты