Азия-тынық мұхит математикалық олимпиадасы, 2010 жыл

Есеп №1. $ABC$ үшбұрышында $\angle BAC \ne 90^\circ$ екенi белгiлi. $ABC$ үшбұрышына сырттай сызылған шеңбердiң центрiн $O$ деп белгiлейiк, ал $BOC$ үшбұрышына сырттай сызылған шеңбер $\Gamma$ болсын. $\Gamma$ шеңберi $AB$ кесiндiсiн $B$-дан басқа $P$ нүктесiнде және $AC$ кесiндiсiн $C$-дан басқа $Q$ нүктесiнде қияды. $ON$ кесiндiсi $\Gamma$ шеңбердiң диаметрi болса, онда $APNQ$ параллелограмм екенiн дәлелде.
комментарий/решение(2)

---

Есеп №2. Егер бүтiн санды $m^k$ түрiнде, яғни $m$ бүтiн санының натурал $k$ дәрежесi түрiнде жазуға болатын болса, бiз оны толық $k$-шы дәреже деп атаймыз. Кез келген натурал $n$ саны үшiн қосындысы толық 2009-шы дәреже, ал көбейтiндiсi толық 2010-шы дәреже болатын әртүрлi $n$ натурал сан табылатынын дәлелде.
комментарий/решение(2)

---

Есеп №3. Олимпиадаға $n$ оқушы қатысады ($n$ — натурал сан). Кез келген екi қатысушы бiрiн-бiрi таниды немесе танымайды. Бiрiн-бiрi танымайтын, бiрақ ортақ таныстары бар қатысушылардың парлары ең көп дегенде қаншаға тең болуы мүмкiн?
комментарий/решение(1)

---

Есеп №4. $ABC$ сүйiрбұрышты үшбұрышында $AB > BC$ және $AC > BC$. $ABC$ үшбұрышына сырттай сызылған шеңбердiң центрiн және ортоцентрiн сәйкесiнше $O$ және $H$ деп белгiлейiк. $AHC$ үшбұрышына сырттай сызылған шеңбер $AB$ түзуiн $A$-дан басқа $M$ нүктесiнде қияды, ал $AHB$ үшбұрышына сырттай сызылған шеңбер $AC$ түзуiн $A$-дан басқа $N$ нүктесiнде қияды. $MNH$ үшбұрышына сырттай сызылған шеңбердiң центрi $OH$ түзуiнiң бойында жататынын дәлелде. ( А. Баев )
комментарий/решение(1)

---

Есеп №5. $\mathbb{R}$ — нақты сандардың жиыны. Кез келген $x$, $y$, $z \in \mathbb{R}$ үшiн $f(f(x) + f(y) + f(z)) = f(f(x)-f(y)) + f(2xy + f(z)) + 2f(xz-yz)$ тепе-теңдiгiн қанағаттандыратын барлық ${f : \mathbb{R}} \to \mathbb{R}$ функцияларын тап.
комментарий/решение(1)

---