Loading [MathJax]/jax/output/SVG/jax.js

Азиатско-Тихоокеанская математическая олимпиада, 2010 год


Дан треугольник ABC, в котором BAC90. Пусть O — центр описанной окружности треугольника ABC, Γ — описанная окружность треугольника BOC. Предположим, что Γ пересекает отрезок AB в точке P, отличной от B, а отрезок AC — в точке Q, отличной от C. Пусть ON — диаметр окружности Γ. Докажите, что четырехугольник APNQ — параллелограмм.
посмотреть в олимпиаде

Комментарий/решение:

  5
4 года 3 месяца назад #

Пусть BAC=a тогда BOC=2a,OBC=90a и PBC=2a, APC=1802a то есть AP=PC тогда OP серединный перпендикуляр, так как ON диаметр, тогда CON=a то есть NOC=NPC=ACP=a то есть PN || AC и так как ONC=NPC=a значит APNQ параллелограмм .

  6
2 года 7 месяца назад #

Так как ONBC, то BON = CON = BAC = NQC AP параллельна QN. 2QBC+2QCB+2NQC=BQC+CN=2BPN=180PAQ AQ параллельна PN.