Азиатско-Тихоокеанская математическая олимпиада, 2010 год

Задача №1. Дан треугольник

$ABC$ , в котором

$\angle BAC \ne 90^{\circ}$ . Пусть

$O$ — центр описанной окружности треугольника

$ABC$ ,

$\Gamma$ — описанная окружность треугольника

$BOC$ . Предположим, что

$\Gamma$ пересекает отрезок

$AB$ в точке

$P$ , отличной от

$B$ , а отрезок

$AC$ — в точке

$Q$ , отличной от

$C$ . Пусть

$ON$ — диаметр окружности

$\Gamma$ . Докажите, что четырехугольник

$APNQ$ — параллелограмм.
комментарий/решение(2)

Задача №2. Для натурального числа

$k$ назовем целое число

$\textit{точной k-ой степенью}$ , если его можно представить в виде

$m^k$ для некоторого целого числа

$m$ . Докажите, что для любого натурального числа

$n$ существуют

$n$ различных натуральных чисел таких, что их сумма является точной

$2009$ -ой степенью, а их произведение — точной

$2010$ -ой степенью. (Напоминаем, что

$0$ не является натуральным числом.)
комментарий/решение(2)

Задача №3. На олимпиаде участвуют

$n$ школьников (

$n$ — натуральное число). Любые два участника либо знакомы друг с другом, либо не знакомы. Каково наибольшее возможное количество пар участников, которые не знакомы друг с другом, но имеют общего знакомого среди других участников олимпиады?
комментарий/решение(1)

Задача №4. Пусть

$ABC$ — остроугольный треугольник, в котором

$AB > BC$ и

$AC > BC$ . Обозначим через

$O$ и

$H$ центр описанной окружности и ортоцентр треугольника

$ABC$ , соответственно. Предположим, что описанная окружность треугольника

$AHC$ пересекает прямую

$AB$ в точке

$M$ , отличной от

$A$ , а описанная окружность треугольника

$AHB$ пересекает прямую

$AC$ в точке

$N$ , также отличной от

$A$ . Докажите, что центр описанной окружности треугольника

$MNH$ лежит на прямой

$OH$ . ( А. Баев )
комментарий/решение(1)

Задача №5. Пусть

$\mathbb{R}$ — множество действительных чисел. Определите все функции

$f:\mathbb{R} \to \mathbb{R}$ , которые для любых

$x, y, z \in \mathbb{R}$ удовлетворяют уравнению

$f(f(x) + f(y) + f(z)) = f(f(x) - f(y)) + f(2xy + f(z)) + 2f(xz-yz).$
комментарий/решение(1)

результаты