Азиатско-Тихоокеанская математическая олимпиада, 2010 год

Пусть $\mathbb{R}$ — множество действительных чисел. Определите все функции $f:\mathbb{R} \to \mathbb{R}$, которые для любых $x, y, z \in \mathbb{R}$ удовлетворяют уравнению $$f(f(x) + f(y) + f(z)) = f(f(x) - f(y)) + f(2xy + f(z)) + 2f(xz-yz).$$

Комментарий/решение

Ответ: $1) f(x)=0$ или $2) f(x)=x^2$

Решение: Если $f(x)$ константа, то $f(x)=0.$ Далее $f(x)$ не константа.

Заметим, что $P(x,y,0) - P(y,x,0) :$ $$f(f(x)-f(y))=f(f(y)-f(x))$$

Тогда $P(x,y,1)-P(y,x,1) :$ $$f(x-y)=f(y-x)\implies f(a)=f(-a),\forall a \in\mathbb{R}$$

$\\$

$\\$

$\\$

Свойство 1 : Если $f(z_1)=f(z_2)$, то $f(xz_1)=f(xz_2).$

Доказательство: Заметим, что $P(x,0,z_1)-P(x,0,z_2):$ $$f(xz_1)=f(xz_2).\quad\square$$

$\\$

$\\$

Заметим, что если $f(x_0)=f(0),$ для некоторого $x_0$, то $$f(xx_0)=f(x\cdot 0)=f(0)$$

поэтому если $x_0\ne 0,$ то $f(x)$ константа. Значит $x_0=0$.

Заметим, что $P(x,y,0)-P(x,-y,0) :$ $$f(2xy+f(0))=f(-2xy+f(0))$$ $$\implies f(z+f(0))=f(-z+f(0)),\forall z\in\mathbb{R}$$

тогда при $z=f(0):$ $f(2f(0))=f(0)$, откуда $2f(0)=0\implies f(0)=0.$

Откуда $f(x)\ne 0,\forall x\ne 0$

$\\$

$\\$

$\\$

Свойство 2: Если $f(z_1)=f(z_2),$ то $|z_1|=|z_2|$

Доказательство: Случай $0\in (z_1,z_2)$ уже разобран. Далее $0\ne z_1,z_2.$

Пусть $c=f(1).$ Заметим, что $P(z_1,z_1,1)-P(z_2,z_2,1):$ $$f(2z_1^2+c)=f(2z_2^2+c)$$

Так же $P(z_1,-z_1,1)-P(z_2,-z_2,1):$ $$f(-2z_1^2+c)=f(-2z_2^2+c)$$

Так как $f(xz_1)=f(xz_2),$ то $$f(2x^2z_1^2+c)=f(2x^2z_2^2+c)$$

$$f(-2x^2z_1^2+c)=f(-2x^2z_2^2+c)$$

значит $$f(tz_1^2+c)=f(tz_2^2+c)\implies f(\dfrac 1 t (tz_1^2+c))=f(\dfrac 1 t (tz_2^2+c),\forall t\ne 0$$

Откуда $f(z_1^2+r)=f(z_2^2+r),\forall r\ne 0,$ так как $c\ne 0$. Пусть $r=-z_2^2$, откуда $$f(z_1^2-z_2^2)=f(0)\implies z_1^2-z_2^2=0\implies |z_1|=|z_2|.\quad\square$$

$\\$

$\\$

$\\$

Отметим, что $P(x,x,0):$ $$f(2f(x))=f(2x^2)$$ откуда из Свойства 2: $f(x)=\pm x^2\quad (*)$

Так же $P(x,x,x):$ $$f(3f(x))=f(2x^2+f(x))$$

откуда из Свойства 2: $f(x)=x^2$ или $f(x)=-\dfrac{x^2}{2}\quad (**)$

Из $(*)$ и $(**)\implies$ $f(x)=x^2,\forall x\in\mathbb{R} \quad\square$