Loading [MathJax]/jax/output/SVG/jax.js

Азиатско-Тихоокеанская математическая олимпиада, 2010 год


На олимпиаде участвуют n школьников (n — натуральное число). Любые два участника либо знакомы друг с другом, либо не знакомы. Каково наибольшее возможное количество пар участников, которые не знакомы друг с другом, но имеют общего знакомого среди других участников олимпиады?
посмотреть в олимпиаде

Комментарий/решение:

  3
4 года 3 месяца назад #

Пусть a1,a2,...,an есть участники, расположим пары как (ai,aj) где 1i<jn пусть будут знакомы только пары (ai,an) где 1in тогда получим что число общих знакомых равно арифметической сумме S=1+2+...+n1=(n1)(n2)2.

Докажем что это максимальное количество, число незнакомых не должно убывать, так как при этом общие знакомые пар будут меньше этого числа, если знакомые будут меньше чем n1 то число общих знакомых по построению будут убывать.