Азиатско-Тихоокеанская математическая олимпиада, 2010 год
На олимпиаде участвуют n школьников (n — натуральное число).
Любые два участника либо знакомы друг с другом,
либо не знакомы.
Каково наибольшее возможное количество пар участников, которые
не знакомы друг с другом, но имеют общего знакомого
среди других участников олимпиады?
посмотреть в олимпиаде
Комментарий/решение:
Пусть a1,a2,...,an есть участники, расположим пары как (ai,aj) где 1≤i<j≤n пусть будут знакомы только пары (ai,an) где 1≤i≤n тогда получим что число общих знакомых равно арифметической сумме S=1+2+...+n−1=(n−1)(n−2)2.
Докажем что это максимальное количество, число незнакомых не должно убывать, так как при этом общие знакомые пар будут меньше этого числа, если знакомые будут меньше чем n−1 то число общих знакомых по построению будут убывать.
Возможно, что при неправильном наборе формул, они будут
доредактированы модератором. При этом содержание не будет меняться.