Азиатско-Тихоокеанская математическая олимпиада, 2010 год

Пусть $ABC$ — остроугольный треугольник, в котором $AB > BC$ и $AC > BC$. Обозначим через $O$ и $H$ центр описанной окружности и ортоцентр треугольника $ABC$, соответственно. Предположим, что описанная окружность треугольника $AHC$ пересекает прямую $AB$ в точке $M$, отличной от $A$, а описанная окружность треугольника $AHB$ пересекает прямую $AC$ в точке $N$, также отличной от $A$. Докажите, что центр описанной окружности треугольника $MNH$ лежит на прямой $OH$. ( А. Баев )

Комментарий/решение

Решим "предзадачу" и лемму

Пусть имеется треугольник $AB=AC$ и $H$ ортоцентр и $I$ - точка пересечения медиан и $CE, BF$ высоты , так же $N \in AC$ и $E \in AB$ так что $FC=FN, \ EB=EM$ если $\angle BAC = a$

Лемма: тогда выполняется условие $MN = 3HI \cdot \sin(a)$

Доказательство: Если $T$ середина $BC$ тогда $AT = \dfrac{BC \cdot ctg(\dfrac{a}{2})}{2} , \ HT = \dfrac{BC \cdot tg(\dfrac{a}{2})}{2} , \ \ \ HI = \dfrac{AT}{3} - HT =\dfrac{BC \cdot (ctg( \dfrac{a}{2}) - 3 \cdot tg( \dfrac{a}{2}))}{6}$

так как $MN || BC$ тогда $MN = \dfrac{AN \cdot BC}{AC}$, так как $AN = AC-CN = AC-4AC \cdot \sin^2(\dfrac{a}{2})$ откуда $MN = BC \cdot (1-4 \sin^2(\dfrac{a}{2}))$

подставив получаем требуемое.

Предзадача: на том же построений пусть $K$ середина $AC$ пусть $C'A' || CA$ где $C' \in CE$ и $A' \in EA$ так же $K' \in EK \cap C'A'$ пусть $D \in MH \cap EK$ тогда $\angle MHF = 180-2a$ и $\angle EKC = 2a$ то есть $EK \perp MH$ проведем через $I$ прямую $IG || KK'$ где $G \in MH$ и $I' \in IG BK'$ тогда $\angle HII' = \angle HMN$ и пусть $N' \in A'C' \cap HN$ докажем что $HII'$ и $MNN'$ подобны.

Доказательство для этого нужно доказать что (учитывая что $CC'=NN'$) $$\dfrac{II'}{HI} = \dfrac{CC'}{MN} \ \ \ (1)$$

так как $II' || KK'$ тогда $I'$ точка пересечения медиан $A'C'B$ тогда $\dfrac{II'}{KK'} = \dfrac{BI}{KI} = \dfrac{2}{3}$ учитывая это, откуда $(1)$ будет иметь вид $\dfrac{KK'}{HI} = \dfrac{3CC'}{2MN}$ но по теореме Фалеса $\dfrac{KK'}{CC'} = \dfrac{EK'}{EC'} = \dfrac{1}{2\sin(a)}$ откуда $MN = 3HI \cdot \sin(a)$ по лемме это верно.

К задаче из условия следует что $FC=FN, \ EB=EM$ (вписанность $AMHC, \ BHNA$) предзадаче следует что $N'MH + I'HN = 90^{\circ}$ тогда заменим $I' -> I, N'->N$ получаем, $O_{1}$ лежит на $IH$ где $O_{1}$ центр описанной окружности $MHN$, но по прямой Эйлера $OHI$ лежат на одной прямой.