Азиатско-Тихоокеанская математическая олимпиада, 2010 год

Дан треугольник $ABC$, в котором $\angle BAC \ne 90^{\circ}$. Пусть $O$ — центр описанной окружности треугольника $ABC$, $\Gamma$ — описанная окружность треугольника $BOC$. Предположим, что $\Gamma$ пересекает отрезок $AB$ в точке $P$, отличной от $B$, а отрезок $AC$ — в точке $Q$, отличной от $C$. Пусть $ON$ — диаметр окружности $\Gamma$. Докажите, что четырехугольник $APNQ$ — параллелограмм.

Комментарий/решение

Пусть $\angle BAC = a$ тогда $\angle BOC=2a, \angle OBC = 90^{\circ}-a$ и $\angle PBC = 2a, \ \angle APC = 180^{\circ}-2a$ то есть $AP=PC$ тогда $OP$ серединный перпендикуляр, так как $ON$ диаметр, тогда $\angle CON = a$ то есть $\angle NOC = \angle NPC = \angle ACP = a $ то есть $PN \ || \ AC$ и так как $\angle ONC = \angle NPC = a$ значит $APNQ$ параллелограмм .

Так как $ON \bot BC$, то $\angle BON$ = $\angle CON$ = $\angle BAC $ = $\angle NQC$ $\Rightarrow$ $AP$ параллельна $QN$. $ 2 \cdot \angle QBC + 2 \cdot \angle QCB + 2 \cdot \angle NQC = \overset\frown{BQC} + \overset\frown{CN} = 2 \cdot \angle BPN = 180 - \angle PAQ $ $\Rightarrow$ $AQ$ параллельна $PN$.

БОО $AB < AC$, $\angle OBN = 90^\circ$, потому $BN$ касается $(ABC)$, откуда $\angle A = \angle CBN = \angle NQC \Rightarrow AP \parallel NQ$. $\angle A = \angle CBN = \angle BCN = \angle BPN \Rightarrow AQ \parallel PN$$\blacksquare$