Районная олимпиада, 2004-2005 учебный год, 10 класс

Полные решения этих задач опубликованы в книге, доступный для заказа по ссылке

Задача №1. Найдите сумму коэффициентов многочлена

$f(x)$ , если известно, что

$f(x) = (x^3 - 4x^2 + 4)^{2004} \cdot (2x - 3)^{2005}.$
комментарий/решение(1)

Задача №2. В четырехугольнике

$ABCD$ , где

$AB$ и

$CD$ непараллельны, точка

$E$ — середина

$AB$ ,

$F$ — середина

$CD$ . Докажите, что середины отрезков

$AF$ ,

$CE$ ,

$BF$ и

$DE$ являются вершинами параллелограмма.
комментарий/решение(1)

Задача №3. Докажите, что из

$n+1$ натуральных чисел, меньших

$2n$ , всегда можно выбрать два, отношение которых есть степень числа 2.
комментарий/решение

Задача №4. Найдите все простые числа

$p$ такие, что числа

$2p+1$ и

$4p+1$ являются также простыми.
комментарий/решение(1)

Задача №5. Каждая диагональ выпуклого пятиугольника отсекает от него треугольник, площадь которого равна 1. Найдите площадь пятиугольника.
комментарий/решение(1)

Задача №6. Для любых натуральных чисел

$m, n >1$ докажите неравенство

$\frac{1} {{\root m \of {1 + n} }} + \frac{1} {{\root n \of {1 + m} }} > 1.$
комментарий/решение(1)