Математикадан аудандық олимпиада, 2004-2005 оқу жылы, 10 сынып

Есеп №1. Егер

$f(x)={{({{x}^{3}}-4{{x}^{2}}+4)}^{2004}}\cdot {{(2x-3)}^{2005}}$ екені белгілі болса,

$f(x)$ көпмүшелігінің коэффициенттерінің қосындысын табыңдар.
комментарий/решение(1)

Есеп №2.

$ABCD$ төртбұрышында

$AB \not \parallel CD$ ,

$E$ нүктесі —

$AB$ -ның, ал

$F$ нүктесі —

$CD$ -нің ортасы.

$AF$ ,

$CE$ ,

$BF$ және

$DE$ кесінділерінің орталары параллелограмның төбелері болатынын дәлелдеңдер.
комментарий/решение(1)

Есеп №3. Әрқайсысы

$2n$ -нен кем

$n+1$ натурал санның ішінен қатынасы 2 санының дәрежесі болатын екі сан таңдап алуға болатынын дәлелдеңдер.
комментарий/решение

Есеп №4. Өзімен бірге

$2p+1$ және

$4p+1$ сандары да жай болатындай барлық

$p$ жай сандарын табыңдар.
комментарий/решение(1)

Есеп №5. Дөңес бесбұрыштың әрбір диагоналы одан ауданы 1-ге тең үшбұрыш қиып алады. Бесбұрыштың ауданын табыңдар.
комментарий/решение(1)

Есеп №6. Кез келген

$m,n > 1$ натурал сандары үшін теңсіздікті дәлелдеңдер:

$\dfrac{1}{\sqrt[m]{1+n}}+\dfrac{1}{\sqrt[n]{1+m}} > 1.$
комментарий/решение(1)