Районная олимпиада, 2004-2005 учебный год, 10 класс

Найдите все простые числа $p$ такие, что числа $2p+1$ и $4p+1$ являются также простыми.

Комментарий/решение

Ответ :$p=3$

Решение. Рассмотрим три числа по модулю 3. Простые числа делятся только на 1 и себя. Если $p $ делится на цело , то такое число это 3. Условие выполнимо в этом случае. Покажем, что других таких $p $ нет. Если $p $ имеет остаток 1,то $2p+1$ делится на цело на 3, что невозможно, так как $p=1$ не является простым. Если остаток $p$ от деления на 3 равен 2, то $4p+1$ делится на цело на 3.