Математикадан аудандық олимпиада, 2004-2005 оқу жылы, 10 сынып
Дөңес бесбұрыштың әрбір диагоналы одан ауданы 1-ге тең үшбұрыш қиып алады. Бесбұрыштың ауданын табыңдар.
посмотреть в олимпиаде
Комментарий/решение:
Пусть ABCDE - наш пятиугольник и AD∩EC=K.
S(AED)=S(CDE)=1, следовательно, S(EDK)=x и S(AEK)=S(CDK)=1−x, (x<1).
Из последнего равенства следует, что EK∗AK=DK∗CK, то есть EKCK=DKAK(1)=>ED∥AC
Аналогично, AB∥EC и BC∥AD, то есть ABCK - параллелограмм и S(AKC)=S(ABC)=1
Из (1) получаем, что
S(AEK)2=S(EDK)∗S(AKC)
(1−x)2=1∗x
x2−3x+1=0
x1=3+√52>1, что невозможно.
x2=3−√52=>S(ABCDE)=4−x2=5+√52
Возможно, что при неправильном наборе формул, они будут
доредактированы модератором. При этом содержание не будет меняться.