Азиатско-Тихоокеанская математическая олимпиада, 2005 год

Задача №1. Докажите, что для каждого действительного иррационального числа

$a$ найдутся действительные иррациональные числа

$b$ и

$b'$ такие, что

$a+b$ и

$ab'$ будут рациональными, а

$ab$ и

$a+b'$ будут иррациональными числами.
комментарий/решение(1)

Задача №2. Пусть

$a$ ,

$b$ и

$c$ — положительные действительные числа такие, что

$abc=8$ . Докажите, что

$\frac{{{a}^{2}}}{\sqrt{(1+{{a}^{3}})(1+{{b}^{3}})}}+\frac{{{b}^{2}}}{\sqrt{(1+{{b}^{3}})(1+{{c}^{3}})}}+\frac{{{c}^{2}}}{\sqrt{(1+{{c}^{3}})(1+{{a}^{3}})}}\geq \frac{4}{3}.$
комментарий/решение(1)

Задача №3. Докажите, что существует треугольник, которого можно разрезать на 2005 равных треугольников.
комментарий/решение(2)

Задача №4. В маленьком городке имеется

${{n}^{2}}$ домов, индексированных парами чисел

$(i,j)$ для

$1\leq i,j\leq n$ . Дома с индексами

$(i,j)$ ,

$(k,l)$ назовем соседними, если

$|i-k|+|j-l|=1$ . В момент времени 0, в доме с индексом

$(1,c)$ , где

$c\leq \frac{n}{2}$ , начался пожар. В течение каждого последующего временного интервала

$[t,t+1]$ пожарники ставят систему защиты от пожара одному дому, до которого огонь еще не добрался, в то время как пожар распространяется на все незащищенные дома, каждый из которых соседствуют с некоторым домом, охваченным пожаром в момент времени

$t$ . Дом, где установлена система защиты от пожара, не горит. Процесс завершается, когда распространение пожара становится невозможным. Какое максимальное число домов могут спасти пожарники?
Замечание. Можно считать, что городок имеет форму таблицы

$n\times n$ , где дома суть единичные клетки,

$(1,1)$ — индекс дома, стоящего в левом верхнем углу,

$i$ и

$j$ указывают соответственно строку и столбец дома с индексом

$(i,j)$ .
комментарий/решение

Задача №5. На сторонах

$AB$ и

$AC$ треугольника

$ABC$ выбраны соответственно точки

$M$ и

$N$ так, чтобы

$MB=BC=CN$ . Обозначим через

$R$ и

$r$ соответственно радиусы описанной и вписанной окружностей треугольника

$ABC$ . Выразите отношение

$MN/BC$ через

$R$ и

$r$ .
комментарий/решение(1)

результаты