Азия-тынық мұхит математикалық олимпиадасы, 2005 жыл

Есеп №1. Әрбір нақты иррационал $a$ саны үшін $a+b$ және $ab'$ сандары рационал, ал $ab$ және $a+b'$ сандары иррационал болатындай нақты иррационал $b$ және $b'$ сандары табылатынын дәлелдеңдер.
комментарий/решение(1)

---

Есеп №2. Егер накты оң $a$, $b$ және $c$ сандары $abc=8$ теңдігін қанағаттандыратын болса $$\dfrac{{{a}^{2}}}{\sqrt{(1+{{a}^{3}})(1+{{b}^{3}})}}+\dfrac{{{b}^{2}}}{\sqrt{(1+{{b}^{3}})(1+{{c}^{3}})}}+\dfrac{{{c}^{2}}}{\sqrt{(1+{{c}^{3}})(1+{{a}^{3}})}}\ge \dfrac{4}{3}$$ теңсіздігі орындалатынын дәлелде.
комментарий/решение(1)

---

Есеп №3. Өзара тең 2005 үшбұрышқа бөліп қиюға болатын үшбұрыш табылатынын дәлелде.
комментарий/решение(2)

---

Есеп №4. Кішкентай қалашықта әрбір $1\le i,j\le n$ үшін $(i,j)$ сандар парымен индекстелген ${{n}^{2}}$ үй бар. Егер $|i-k|+|j-l|=1$ болса, $(i,j)$, $(k,l)$ индексті үйлерді "көрші" дейміз. Уақыт 0 мезетінде, $(1,c)$ индексті үйде, мұндағы $c\le \dfrac{n}{2}$, өрт басталды. Әрбір келесі ${[t,t+1]}$ уақыт интервалында өрт сөндірушілер әлі өртке шалынбаған бір үйге өрттен қорғайтын жүйе орнатады, ал $t$ мезетінде өртке оранған үйлердің біреуіне көрші болатын және қорғансыз әрбір үйде өрт басталады. Өрттен қорғайтын жүйе орнатылған үй өртенбейді. Өрттің кеңеюі тоқтатылған кезде процесс аяқталады. Өрт сөндірушілер ең көп дегенде қанша үйді өрттен аман алып қала алады?
Ескерту: Қалашық өлшемі $n\times n$ болатын кесте пішіндес деп ұйғаруға болады, мұндағы үйлер — бірлік шаршылар, $(1,1)$ — сол жақ жоғарғы бұрыштағы үйдің индексі, ал $i$ мен $j$ сәйкесінше $(i,j)$ индексті үйдің қатары мен бағанын көрсетеді.
комментарий/решение

---

Есеп №5. $ABC$ үшбұрышының $AB$ және $AC$ қабырғаларынан $MB=BC=CN$ болатындай етіп сәйкесінше $M$ және $N$ нүктелері алынған. $R$ және $r$ арқылы $ABC$ үшбұрышына сәйкес сырттай және іштей сызылған шеңберлердің радиустары белгіленген. $MN/BC$ қатынасын $R$ және $r$ арқылы өрнекте.
комментарий/решение(1)

---