Азиатско-Тихоокеанская математическая олимпиада, 2005 год

Докажите, что для каждого действительного иррационального числа $a$ найдутся действительные иррациональные числа $b$ и $b'$ такие, что $a+b$ и $ab'$ будут рациональными, а $ab$ и $a+b'$ будут иррациональными числами.

Комментарий/решение

Рассмотрим два варианта когда число $a^2$ рациональное и когда нет, 1)иррациональное

тогда возьмем b=-a тогда их сумма будет 0 что рациональное b*=$1/a$ тогда произведение будет 1 что рациональное теперь ab=-$a^2$ что иррациональное и a+b*=$(a^2+1)/a$ что иррациональное

2)рациональное тогда подберем b=$a^2$-$a$ тогда сумма будет $a^2$ что рациональное

ab=$a^2$$(a-1)$ это произведение рационального и иррационального значит это иррациональное теперь возьмем b*=$1/a$ или b*=$2/b$ тогда ab*=1 или 2 что рациональное тогда число a+b*=$(a^2+1)/a$ или $(a^2+2)/a$ а их разность 1/a значит хотя бы одно из них иррациональное