Азиатско-Тихоокеанская математическая олимпиада, 2005 год

Задача №1.  Докажите, что для каждого действительного иррационального числа $a$ найдутся действительные иррациональные числа $b$ и $b'$ такие, что $a+b$ и $ab'$ будут рациональными, а $ab$ и $a+b'$ будут иррациональными числами.
комментарий/решение(1)

---

Задача №2.  Пусть $a$, $b$ и $c$ — положительные действительные числа такие, что $abc=8$. Докажите, что $$ \frac{{{a}^{2}}}{\sqrt{(1+{{a}^{3}})(1+{{b}^{3}})}}+\frac{{{b}^{2}}}{\sqrt{(1+{{b}^{3}})(1+{{c}^{3}})}}+\frac{{{c}^{2}}}{\sqrt{(1+{{c}^{3}})(1+{{a}^{3}})}}\geq \frac{4}{3}. $$
комментарий/решение(1)

---

Задача №3.  Докажите, что существует треугольник, которого можно разрезать на 2005 равных треугольников.
комментарий/решение(2)

---

Задача №4.  В маленьком городке имеется ${{n}^{2}}$ домов, индексированных парами чисел $(i,j)$ для $1\leq i,j\leq n$. Дома с индексами $(i,j)$, $(k,l)$ назовем соседними, если $|i-k|+|j-l|=1$. В момент времени 0, в доме с индексом $(1,c)$, где $c\leq \frac{n}{2}$, начался пожар. В течение каждого последующего временного интервала $[t,t+1]$ пожарники ставят систему защиты от пожара одному дому, до которого огонь еще не добрался, в то время как пожар распространяется на все незащищенные дома, каждый из которых соседствуют с некоторым домом, охваченным пожаром в момент времени $t$. Дом, где установлена система защиты от пожара, не горит. Процесс завершается, когда распространение пожара становится невозможным. Какое максимальное число домов могут спасти пожарники?
Замечание. Можно считать, что городок имеет форму таблицы $n\times n$, где дома суть единичные клетки, $(1,1)$ — индекс дома, стоящего в левом верхнем углу, $i$ и $j$ указывают соответственно строку и столбец дома с индексом $(i,j)$.
комментарий/решение

---

Задача №5.  На сторонах $AB$ и $AC$ треугольника $ABC$ выбраны соответственно точки $M$ и $N$ так, чтобы $MB=BC=CN$. Обозначим через $R$ и $r$ соответственно радиусы описанной и вписанной окружностей треугольника $ABC$. Выразите отношение $MN/BC$ через $R$ и $r$.
комментарий/решение(1)

---