Азиатско-Тихоокеанская математическая олимпиада, 2005 год

Пусть $a$, $b$ и $c$ — положительные действительные числа такие, что $abc=8$. Докажите, что $$\frac{{{a}^{2}}}{\sqrt{(1+{{a}^{3}})(1+{{b}^{3}})}}+\frac{{{b}^{2}}}{\sqrt{(1+{{b}^{3}})(1+{{c}^{3}})}}+\frac{{{c}^{2}}}{\sqrt{(1+{{c}^{3}})(1+{{a}^{3}})}}\geq \frac{4}{3}.$$

Комментарий/решение

$$\frac{a^{2}+2}{2}\geq \sqrt{a^{3}+1}$$

Доказательство: $$X^{3}+1 = (X+1)(X^{2}-X+1) \Rightarrow AM \geq GM \Rightarrow \frac{(X+1)+(X^2-X+1)}{2}=\frac{X^2+2}{2}\geq \sqrt{X^{3}+1}$$

$$(!) \ \sum \frac{4a^{2}}{(a^{2}+2)(b^{^{2}}+2)} \geq \frac{4}{3} \Rightarrow (!) \ \sum \frac{a^{2}}{(a^{2}+2)(b^{^{2}}+2)} \geq \frac{1}{3}$$

Сделаем сумму: $$(!) \ 2a^{2}+2b^{2}+2c^{2}+a^{2}b^{2}+b^{2}c^{2}+a^{2}c^{2}\geq a^{2}b^{2}c^{2}+abc=72$$

$$AM\geq GM \Rightarrow \sum 2a^2\geq 24, \ \sum a^{2}b^{2}\geq 48$$

Равенство выполняется при:

$$a=b=c=2 \Rightarrow \sum = \frac{4}{3}$$