Азия-тынық мұхит математикалық олимпиадасы, 2004 жыл

Есеп №1. Әрбір $i, j \in S$ үшін $\dfrac{i+j}{(i,j)}$ саны да $S$-тың элементі болатындай натурал сандардан тұратын барлық ақырлы $S$ жиынын анықтаңыздар.
комментарий/решение(3)

---

Есеп №2. Сүйірбұрышты $ABC$ үшбұрышына сырттай сызылған шеңбердің центрі $O$ нүктесі, ал оның биіктіктерінің қиылысу нүктесі $H$ болсын. Онда $AOH$, $BOH$ және $COH$ үшбұрыштарының біреуінің ауданы қалған екеуінің аудандарының қосындысына тең болатынын дәлелде.
комментарий/решение(2)

---

Есеп №3. Ешбір үшеуі бір түзүдің бойында жатпайтын 2004 нүктеден тұратын $S$ жиынын алайық. Енді $L$ арқылы осы нүктелердің әрбір пары анықтайтын барлық түзулер жиынын белгілейік. $S$ жиынының нүктелерін мына шартты қанағаттандыратындай етіп бір немесе екі түске бояуға болатынын дәлелде: $S$-тан алынған кез келген $p$ және $q$ нүктелері үшін $p$ мен $q$-ды айыратын $L$-дағы түзулердің саны $p$ мен $q$-дың түсі бірдей болғанда ғана тақ болады.
Ескерту: Біз, егер $p$ мен $q$ нүктелері $l$ түзуі жасаған жартыжазықтықтардың әртүрлісінде жатса және олар $l$-да жатпаса, онда $l$ түзуі $p$ мен $q$-ды айырады дейміз.
комментарий/решение

---

Есеп №4. Біз $[x]$ арқылы $x$ нақты санынан аспайтын ең үлкен бүтін санды белгілейміз. Онда $\left[ \dfrac{(n-1)!}{n(n+1)} \right]$ саны кез келген натурал $n$ саны үшін жұп болатынын дәлелде.
комментарий/решение(1)

---

Есеп №5. Кез келген $a, b, c > 0$ нақты сандары үшін $({{a}^{2}}+2)({{b}^{2}}+2)({{c}^{2}}+2)\ge 9(ab+bc+ca)$ теңсіздігін дәлелде.
комментарий/решение(12)

---