Азия-тынық мұхит математикалық олимпиадасы, 2004 жыл

Есеп №1. Әрбір

$i, j \in S$ үшін

$\dfrac{i+j}{(i,j)}$ саны да

$S$ -тың элементі болатындай натурал сандардан тұратын барлық ақырлы

$S$ жиынын анықтаңыздар.
комментарий/решение(3)

Есеп №2. Сүйірбұрышты

$ABC$ үшбұрышына сырттай сызылған шеңбердің центрі

$O$ нүктесі, ал оның биіктіктерінің қиылысу нүктесі

$H$ болсын. Онда

$AOH$ ,

$BOH$ және

$COH$ үшбұрыштарының біреуінің ауданы қалған екеуінің аудандарының қосындысына тең болатынын дәлелде.
комментарий/решение(2)

Есеп №3. Ешбір үшеуі бір түзүдің бойында жатпайтын 2004 нүктеден тұратын

$S$ жиынын алайық. Енді

$L$ арқылы осы нүктелердің әрбір пары анықтайтын барлық түзулер жиынын белгілейік.

$S$ жиынының нүктелерін мына шартты қанағаттандыратындай етіп бір немесе екі түске бояуға болатынын дәлелде:

$S$ -тан алынған кез келген

$p$ және

$q$ нүктелері үшін

$p$ мен

$q$ -ды айыратын

$L$ -дағы түзулердің саны

$p$ мен

$q$ -дың түсі бірдей болғанда ғана тақ болады.
Ескерту: Біз, егер

$p$ мен

$q$ нүктелері

$l$ түзуі жасаған жартыжазықтықтардың әртүрлісінде жатса және олар

$l$ -да жатпаса, онда

$l$ түзуі

$p$ мен

$q$ -ды айырады дейміз.
комментарий/решение

Есеп №4. Біз

$[x]$ арқылы

$x$ нақты санынан аспайтын ең үлкен бүтін санды белгілейміз. Онда

$\left[ \dfrac{(n-1)!}{n(n+1)} \right]$ саны кез келген натурал

$n$ саны үшін жұп болатынын дәлелде.
комментарий/решение(1)

Есеп №5. Кез келген

$a, b, c > 0$ нақты сандары үшін

$({{a}^{2}}+2)({{b}^{2}}+2)({{c}^{2}}+2)\ge 9(ab+bc+ca)$ теңсіздігін дәлелде.
комментарий/решение(12)

результаты