Азия-тынық мұхит математикалық олимпиадасы, 2004 жыл

Ешбір үшеуі бір түзүдің бойында жатпайтын 2004 нүктеден тұратын $S$ жиынын алайық. Енді $L$ арқылы осы нүктелердің әрбір пары анықтайтын барлық түзулер жиынын белгілейік. $S$ жиынының нүктелерін мына шартты қанағаттандыратындай етіп бір немесе екі түске бояуға болатынын дәлелде: $S$-тан алынған кез келген $p$ және $q$ нүктелері үшін $p$ мен $q$-ды айыратын $L$-дағы түзулердің саны $p$ мен $q$-дың түсі бірдей болғанда ғана тақ болады.
Ескерту: Біз, егер $p$ мен $q$ нүктелері $l$ түзуі жасаған жартыжазықтықтардың әртүрлісінде жатса және олар $l$-да жатпаса, онда $l$ түзуі $p$ мен $q$-ды айырады дейміз.