Азиатско-Тихоокеанская математическая олимпиада, 2004 год

Пусть дано множество $S$, состоящее из 2004 точек плоскости, никакие три из которых не лежат на одной прямой. Через $L$ обозначим множество прямых, проходящих через все пары точек множества $S$. Докажите, что точки множества $S$ возможно покрасить не более чем в два цвета так, что для любых точек $p$ и $q$ множества $S$ количество прямых из $L$, разделяющих $p$ и $q$, нечетно тогда и только тогда, когда $p$ и $q$ имеют одинаковый цвет.
Замечание. Прямая $\ell$ разделяет две точки $p$ и $q$, если $p$ и $q$ лежат на разных полуплоскостях, образованных прямой $\ell$, и ни одна из них не лежит на $\ell$.