Азиатско-Тихоокеанская математическая олимпиада, 2004 год
Задача №1. Определите все конечные непустые множества S натуральных чисел, для которых
i+j(i,j) является элементом S для всех чисел i и j из S.
комментарий/решение(3)
комментарий/решение(3)
Задача №2. Пусть O является центром описанной окружности и H — центром пересечения
высот остроугольного треугольника ABC. Докажите, что площадь одного из треугольников
AOH, BOH и COH равна сумме площадей остальных двух.
комментарий/решение(2)
комментарий/решение(2)
Задача №3. Пусть дано множество S, состоящее из 2004 точек плоскости, никакие три из
которых не лежат на одной прямой. Через L обозначим множество прямых,
проходящих через все пары точек множества S. Докажите, что точки множества S
возможно покрасить не более чем в два цвета так, что для любых точек p и q
множества S количество прямых из L, разделяющих p и q, нечетно тогда и
только тогда, когда p и q имеют одинаковый цвет.
Замечание. Прямая ℓ разделяет две точки p и q, если p и q лежат на разных полуплоскостях, образованных прямой ℓ, и ни одна из них не лежит на ℓ.
комментарий/решение
Замечание. Прямая ℓ разделяет две точки p и q, если p и q лежат на разных полуплоскостях, образованных прямой ℓ, и ни одна из них не лежит на ℓ.
комментарий/решение
Задача №4. Обозначим через [x] наибольшее целое число, которое не превосходит действительного числа x.
Докажите, что число [(n−1)!n(n+1)] является четным при любом натуральном n.
комментарий/решение(1)
комментарий/решение(1)
Задача №5. Докажите, что (a2+2)(b2+2)(c2+2)≥9(ab+bc+ca) для любых действительных чисел a,b,c>0.
комментарий/решение(12)
комментарий/решение(12)