Loading [MathJax]/jax/output/SVG/jax.js

Азиатско-Тихоокеанская математическая олимпиада, 2004 год


Задача №1.  Определите все конечные непустые множества S натуральных чисел, для которых i+j(i,j) является элементом S для всех чисел i и j из S.
комментарий/решение(3)
Задача №2.  Пусть O является центром описанной окружности и H — центром пересечения высот остроугольного треугольника ABC. Докажите, что площадь одного из треугольников AOH, BOH и COH равна сумме площадей остальных двух.
комментарий/решение(2)
Задача №3.  Пусть дано множество S, состоящее из 2004 точек плоскости, никакие три из которых не лежат на одной прямой. Через L обозначим множество прямых, проходящих через все пары точек множества S. Докажите, что точки множества S возможно покрасить не более чем в два цвета так, что для любых точек p и q множества S количество прямых из L, разделяющих p и q, нечетно тогда и только тогда, когда p и q имеют одинаковый цвет.
Замечание. Прямая разделяет две точки p и q, если p и q лежат на разных полуплоскостях, образованных прямой , и ни одна из них не лежит на .
комментарий/решение
Задача №4.  Обозначим через [x] наибольшее целое число, которое не превосходит действительного числа x. Докажите, что число [(n1)!n(n+1)] является четным при любом натуральном n.
комментарий/решение(1)
Задача №5.  Докажите, что (a2+2)(b2+2)(c2+2)9(ab+bc+ca) для любых действительных чисел a,b,c>0.
комментарий/решение(12)
результаты