Азиатско-Тихоокеанская математическая олимпиада, 2004 год
Задача №1. Определите все конечные непустые множества $S$ натуральных чисел, для которых
$\frac{i+j}{(i,j)}$ является элементом $S$ для всех чисел $i$ и $j$ из $S$.
комментарий/решение(3)
комментарий/решение(3)
Задача №2. Пусть $O$ является центром описанной окружности и $H$ — центром пересечения
высот остроугольного треугольника $ABC$. Докажите, что площадь одного из треугольников
$AOH$, $BOH$ и $COH$ равна сумме площадей остальных двух.
комментарий/решение(2)
комментарий/решение(2)
Задача №3. Пусть дано множество $S$, состоящее из 2004 точек плоскости, никакие три из
которых не лежат на одной прямой. Через $L$ обозначим множество прямых,
проходящих через все пары точек множества $S$. Докажите, что точки множества $S$
возможно покрасить не более чем в два цвета так, что для любых точек $p$ и $q$
множества $S$ количество прямых из $L$, разделяющих $p$ и $q$, нечетно тогда и
только тогда, когда $p$ и $q$ имеют одинаковый цвет.
Замечание. Прямая $\ell$ разделяет две точки $p$ и $q$, если $p$ и $q$ лежат на разных
полуплоскостях, образованных прямой $\ell$, и ни одна из них не лежит на $\ell$.
комментарий/решение
комментарий/решение
Задача №4. Обозначим через $[x]$ наибольшее целое число, которое не превосходит действительного числа $x$.
Докажите, что число $\left[ \frac{(n-1)!}{n(n+1)} \right]$ является четным при любом натуральном $n$.
комментарий/решение(1)
комментарий/решение(1)
Задача №5. Докажите, что $({{a}^{2}}+2)({{b}^{2}}+2)({{c}^{2}}+2)\geq 9(ab+bc+ca)$ для любых действительных чисел $a, b, c > 0$.
комментарий/решение(12)
комментарий/решение(12)