Азия-тынық мұхит математикалық олимпиадасы, 2004 жыл
Әрбір i,j∈S үшін i+j(i,j) саны да S-тың элементі болатындай натурал сандардан тұратын барлық ақырлы S жиынын анықтаңыздар.
посмотреть в олимпиаде
Комментарий/решение:
P(i,j)=(i,i)→2∈S
Допустим что S имеет больше одного элемента
(i)P(i,j)=(2,2k+1)
2k+3(2,2k+1)=2k+3
P(i,j)=(2,2k+3)→2k+5∈S
Продолжая получим что каждое нечетное число большее чем 2k+1 входит в множество S
Но S конечное. Противоречие
(ii)P(i,j)=(2,2k)
2k+22=k+1
P(i,j)=(2,k+1)
k+1≠2l+1
k+3(2,k+1)=k+12+1
2k,2k+22,2k+24+1,…,2k+22l+1∈S
Если 2k+22l+1≠2 то противоречие
Т.к. в S конечное кол-во элементов
2k+2=2l
Предыдущий элемент:
2k+22l−1+1=3
Противоречие по (i)
Значит в S один элемент
Ответ: S=2
Возможно, что при неправильном наборе формул, они будут
доредактированы модератором. При этом содержание не будет меняться.